Question

【題目】半徑為r的豎直光滑圓軌道固定在光滑木板AB中央，置于光滑水平桌面．圓軌道和木板AB的總質量為m，木板AB兩端被限定，無法水平移動，可豎直移動．木板AB的右端放置足夠長的木板CD，其表面與木板AB齊平，質量為2m．一個質量為m的滑塊（可視為質點）從圓軌道最低點以一定的初速度v0向右運動進入圓軌道，運動一周后回到最低點并向右滑上水平木板AB和CD，最終與木板CD保持相對靜止，滑塊與木板CD間動摩擦因數為μ，其余摩擦均不計，則：

（1）為保證滑塊能通過圓軌道的最高點，求初速度v0的最小值；

（2）為保證滑塊通過圓軌道的最高點時，木板AB不離開地面，求初速度v0的最大值；

（3）若滑塊恰能通過圓軌道最高點，求滑塊在木板CD上滑動產生的熱量Q．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）滑塊在最高點，速度最小時有：

從最低點到最高點的過程中，滑塊機械能守恒，設滑塊最低點的初速度為v01，根據機械能守恒定律：

解得

（2）要使木板AB不離地，滑塊在最高點時對軌道的壓力最大為FN＝mg，滑塊在最高點，速度最大時有：

設滑塊最低點的初速度為v02時，在最高點有最大速度，根據機械能守恒定律：

解得

（3）由（1）可知，滑塊恰能通過最高點，并由機械能守恒可得，滑塊滑到木板CD時的初速度為；

由受力分析可知，滑塊在木板CD上做勻減速直線運動，木板CD做勻加速直線運動，加速度大小分別為

設經過時間t，兩者速度相等均為v，則有v＝v0－a1t＝a2t

解得

這段時間內，滑塊位移

木板CD的位移

滑塊相對木板CD的位移為

故這一過程中產生的熱量

（另解：可相應得分）