Question

（2005?深圳一模）地球上空有人造地球同步通訊衛(wèi)星，它們向地球發(fā)射微波．但無論同步衛(wèi)星數(shù)目增到多少個，地球表面上總有一部分面積不能直接收到它們發(fā)射來的微波，請導(dǎo)出這個面積S與地球表面積S₀之比的數(shù)學(xué)表達式；并根據(jù)提供的數(shù)據(jù)求出該比值至少為多大？
（結(jié)果要求保留兩位有效數(shù)字．已知地球半徑R0=6.4×106m，地球表面的重力加速度g=10m/s²，半徑為R高、為h的球缺的表面積為S₁=2πRh，如圖所示，球的表面積為S=4πR²）

Answer 1

分析：同步衛(wèi)星總是在赤道上空，其高度也是一定的．由它畫一條到地球表面的切線，可見兩極周圍的區(qū)域內(nèi)就收不到微波通訊．
根據(jù)萬有引力提供向心力和數(shù)學(xué)幾何關(guān)系求解．

解答：解：（1）如圖所示，因為同步衛(wèi)星總是在赤道上空，其高度也是一定的．由它畫一條到地球表面的切線，可見兩極周圍的區(qū)域內(nèi)就收不到微波通訊．以m、M分別表示衛(wèi)星和地球的質(zhì)量，r表示衛(wèi)星到地心的距離，T表示地球的自轉(zhuǎn)周期，則對地球上質(zhì)量為m₀的
物體有G

m0M

R02

=m0g，                                                  

對地球同步衛(wèi)星有G

mM

r2

=m(

2π

T

)2r
又根據(jù)幾何關(guān)系有rsinθ=R₀
以S'表示某個極周圍收不到微波區(qū)域的面積，則S′=2πR02(1-cosθ)
地球有兩個極，因而接收不到微波區(qū)域的面積與地球表面積S₀之比為：

S

S0

=

2S′

S0

=1-

1-( 4π2R0 gT2 ) 2 3

（2）代入數(shù)據(jù)解得

2S′

S0

=0.011
答：不能直接收到它們發(fā)射來的微波面積S與地球表面積S₀之比的數(shù)學(xué)表達式是

S

S0

=1-

1-( 4π2R0 gT2 ) 2 3

，大小是0.011．

點評：解決該題關(guān)鍵要根據(jù)題意找出收不到微波區(qū)域的面積，善于把物理問題與數(shù)學(xué)幾何圖形結(jié)合運用．