Question

（2008?徐州三模）如圖所示，在傾角θ=30°、足夠長的斜面上分別固定著兩個物體A．B，相距L=0.2m，它們的質量m_A=m_B=1kg，與斜面間的動摩擦因數分別為μA=

3

6

和μB=

3

3

．在t=0時刻同時撤去固定兩物體的外力后，A物體將沿斜面向下運動，并與B物體發生連續碰撞（碰撞時間極短，忽略不計），每次碰后兩物體交換速度．g取10m/s²．求：
（1）A與B第一次碰后瞬時B的速率？
（2）從A開始運動到兩物體第二次相碰經歷多長時間？
（3）至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程分別是多少？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律分別求出A、B的加速度，得出A、B的運動規律，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線運動． 結合運動學公式求出碰撞前的速度，從而得出碰后瞬間B的速率．
（2）根據勻變速直線運動的位移時間公式求出第一次碰撞所需的時間，結合運動學公式，抓住碰后A做初速度為零的勻加速直線運動，B做勻速直線運動求出第二次碰撞所需的時間，從而得出從A開始運動到兩物體第二次相碰經歷的時間．
（3）從第2次碰撞開始，每次A物體運動到與B物體碰撞時，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，抓住碰后速度交換，結合運動學公式求出至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程．

解答：解：（1）A物體沿斜面下滑時有m_Agsinθ-μ_Am_Agcosθ=m_Aa_A
∴a_A=gsinθ-μ_Am_Agcosθ
aA=gsin300-

3

6

gcos300=2.5m/s²　　　　　
B物體沿斜面下滑時有m_Bgsinθ-μ_Bm_Bgcosθ=m_Ba_B
∴a_B=gsinθ-μ_Bm_Bgcosθ
aB=gsin300-

3

3

gcos300=0
綜上分析可知，撤去固定A、B的外力后，物體B恰好靜止于斜面上，物體A將沿斜面向下做勻加速直線運動．                             
由運動學公式得A與B第一次碰撞前的速度vA1=

2aL

=

2×2.5×0.2

=1m/s
由于AB碰撞后交換速度，故AB第一次碰后瞬時，B的速率v'_B1=v_A1=1m/s
（2）從AB開始運動到第一次碰撞用時t1=

2L a

=

2×0.2 2.5

=0.4s
兩物體相碰后，A物體的速度變為零，以后再做勻加速運動，而B物體將以v_B2=v'_B1=1m/s的速度沿斜面向下做勻速直線運動．              
設再經t₂時間相碰，則有v′B1t2=

1

2

a

t

2 2

解之可得t₂=0.8s               　　　　　　
故從A開始運動到兩物體第二次相碰，共經歷時間t=t₁+t₂=0.4+0.8=1.2s  
（3）從第2次碰撞開始，每次A物體運動到與B物體碰撞時，速度增加量均為△v=at₂=2.5×0.8m/s=2m/s，由于碰后速度交換，因而碰后B物體的速度為：
第一次碰后：v_B1=1m/s
第二次碰后：v_B2=2m/s
第三次碰后：v_B3=3m/s
…
第n次碰后：v_Bn=nm/s
每段時間內，B物體都做勻速直線運動，則第n次碰前所運動的距離為
s_B=[1+2+3+…+（n-1）]×t₂=

2n(n-1)

5

m   （n=1，2，3，…，n-1）
A物體比B物體多運動L長度，則
s_A=L+s_B=[0.2+

2n(n-1)

5

]m　　　　
答：（1）A與B第一次碰后瞬時B的速率為1m/s．
（2）從A開始運動到兩物體第二次相碰經歷了1.2s．
（3）至第n次碰撞時A、B兩物體通過的路程分別是[0.2+

2n(n-1)

5

]m、

2n(n-1)

5

m，（n=1，2，3，…，n-1）．

點評：解決本題的關鍵理清A、B碰撞前后的運動規律，結合牛頓第二定律和運動學公式進行求解．