Question

【題目】在科幻電影《流浪地球》中，由于太陽極速衰老膨脹即將吞噬地球，所以人類要把地球“推”離太陽系，而要想實現這一步，首先要讓地球停止自轉。人類采用的辦法是在赤道上假設若干臺大功率“轉向發動機”，利用核聚變反應中釋放的能量將燃燒物質以極高的速度拋射到太空，利用“反沖力”使地球轉動逐漸減慢。已知每臺“轉向發動機”在單位時間內能將質量為m0的物質以相對地球速度v拋出，地球質量為，半徑為，自轉角速度為。

（1）如圖所示，大圓表示地球赤道，彎曲箭頭表示地球自轉方向，小圓圈表示轉向發動機的位置。要想獲得最大的轉動力矩，使減速效果最好，請你用箭頭在途中A點標出燃燒物質的拋射方向___________。

（2）若轉向發動機都按照產生最大力矩方向拋射物質，求每臺轉向發動機獲得的平均反沖力F的大小___________。（說明：地球減速是個漫長的過程，但在研究反沖力時，可認為地球自轉速度不變）

（3）為了計算在赤道上要假設多少臺“轉向發動機”，需用到與剛體（理想化模型，即形狀和大小完全不變的物體）轉動相關的物理知識。雖然我們在高中階段沒有學習關于剛體的動力學知識，但是我們可以通過“類比”的方法來認識它。

a．我們學過質點平動的動力學方程：。相應地，在剛體轉動中，有 ，其中，M表示力矩，表征外力對剛體的轉動效果；I為剛體的“轉動慣量”，與平動中的質量m相對應，表征剛體轉動狀態改變的難易程度。對于質量均勻分布的剛體而言，，m為球體質量，R為球體半徑，地球可視為質量分布均勻的剛體。到目前為止，你可能還不知道所代表的物理含義，但它也可以表示為某個物理量變化率的形式，與平動中的加速度a對應。請你利用所學知識并結合題目信息，猜想“”所代表的物理量，簡要寫出猜想理由并說明所代表的物理量的含義___________。

b．若要求在T時間內停止自轉，求赤道上至少要安裝轉向發動機的個數N___________。

Answer 1

【答案】圖中沿切線向下方向。 猜想“”代表的物理量是角速度，猜想理由是“利用等號兩邊單位制相同”。所代表的物理量的含義是：單位時間內角速度變化的變化量。（即角加速度）

【解析】

（1）燃燒物質在A點的拋射方向沿切線向下方向，如圖；

（2）因為每臺“轉向發動機”在單位時間內能將質量為m0的物質以相對地球速度v拋出，則由動量定理：，

解得 ；

（3）a. 猜想“”代表的物理量是角速度，猜想理由是“利用等號兩邊單位制相同”。所代表的物理量的含義是：單位時間內角速度變化的變化量，（即角加速度）。

b.根據 ，

其中；

；

；

聯立解得