Question

【題目】如圖所示，一質量為m=1kg的小球從A點沿光滑斜面軌道由靜止滑下，不計通過B點時的能量損失，然后依次滑入兩個相同的圓形軌道內側，其軌道半徑R=10cm，小球恰能通過第二個圓形軌道的最高點，小球離開圓形軌道后可繼續向E點運動，E點右側有一壕溝，E、F兩點的豎直高度d=0.8m，水平距離x=1.2m，水平軌道CD長為L1=1m，DE長為L2=3m。軌道除CD和DE部分粗糙外，其余均光滑，小球與CD和DE間的動摩擦因數μ=0.2，重力加速度g=10m/s2。求：

⑴小球通過第二個圓形軌道的最高點時的速度；

⑵小球通過第一個圓軌道最高點時對軌道的壓力；

⑶若小球既能通過圓形軌道的最高點，又不掉進壕溝，求小球從A點釋放時的高度的范圍是多少？

Answer 1

【答案】⑴1m/s⑵40N⑶0.45m≤h≤0.8m或h≥1.25m

【解析】⑴小球恰能通過第二個圓形軌道最高點，有：

求得：υ2==1m/s ①

⑵在小球從第一軌道最高點運動到第二圓軌道最高點過程中，應用動能定理有：

μmgL1=mv22mv12 ②

求得：υ1==m/s

在最高點時，合力提供向心力，即FN+mg= ③

求得：FN = m(g)= 40N

根據牛頓第三定律知，小球對軌道的壓力為：FN′=FN=40N ④

⑵若小球恰好通過第二軌道最高點，小球從斜面上釋放的高度為h1，在這一過程中應用動能定理有：mgh1 μmgL1 mg 2R = mv22 ⑤

求得：h1=2R+μL1+=0.45m

若小球恰好能運動到E點，小球從斜面上釋放的高度為h1，在這一過程中應用動能定理有：

mgh2μmg(L1+L2)=00 ⑥

求得： h2=μ(L1+L2)=0.8m

使小球停在BC段，應有h1≤h≤h2，即：0.45m≤h≤0.8m

若小球能通過E點，并恰好越過壕溝時，則有

d =gt2 →t == 0.4s ⑦

x=vEt →υE==3m/s ⑧

設小球釋放高度為h3，從釋放到運動E點過程中應用動能定理有：

mgh3 μmg(L1+L2)= 0 ⑨

求得：h3=μ(L1+L2)+ =1.25m

即小球要越過壕溝釋放的高度應滿足：h≥1.25m

綜上可知，釋放小球的高度應滿足：0.45m≤h≤0.8m或 h≥1.25m ⑩