Question

如圖所示，豎直放置的光滑平行金屬導軌MN、PQ相距L，在M點和P點間接有一個阻值為R的電阻，在兩導軌間的矩形區域OO₁O₁′O′內有垂直導軌平面向里、寬為d的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、電阻為r的導體棒ab垂直地擱在導軌上，與磁場的上邊界相距d₀．現使ab棒由靜止開始釋放，棒ab在離開磁場前已經做勻速直線運動（棒ab與導軌始終保持良好接觸且下落過程中始終保持水平，導軌的電阻不計）．
（1）求棒ab離開磁場的下邊界時的速度大小．
（2）求棒ab進入磁場區域勻速運動前速度達到v₁時的加速度大小．
（3）求棒ab在通過磁場區的過程中產生的焦耳熱．

Answer 1

分析：（1）棒ab在離開磁場做勻速直線運動，重力與安培力平衡，由E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL推導出安培力，由平衡條件求出棒ab離開磁場的下邊界時的速度大小．
（2）推導安培力的表達式得到速度達到v₁時的安培力大小，根據牛頓第二定律求出加速度．
（3）棒ab從靜止釋放到剛出磁場的過程，根據能量守恒定律求解在通過磁場區的過程中回路產生的焦耳熱，由焦耳定律求解棒ab在通過磁場區的過程中產生的焦耳熱．

解答：解：（1）設棒ab離開磁場的邊界前做勻速運動的速度為v，產生的感應電動勢為：E=BLv    …①
電路中的電流I=

E

R+r

   …②
對棒ab，由平衡條件得：mg-BIL=0   …③
聯立①②③解得：v=

mg(R+r)

B2L2

    …④
（2）設棒ab進入磁場區域勻速運動前速度達到v₁時的加速度大小為a，則：
產生的感應電動勢為：E₁=BLv₁…⑤
電路中的電流I1=

E1

R+r

…⑥
則由牛頓第二定律可得：mg-BIL=ma…⑦
聯立①②⑤解得：a=g-

B2L2v1

m(R+r)

…⑧
（3）設整個回路中產生的焦耳熱為Q，由能量的轉化和守恒定律可得：
mg（d₀+d）=Q+

1

2

mv²    …⑨
聯立④⑤解得：Q=mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

  …⑩
由于通過棒ab和電阻R的電流始終相等，由焦耳定律可得，棒ab在通過磁場區的過程中產生的焦耳熱Q_ab為：
  Q_ab=

r

R+r

[mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]
答：
（1）棒ab離開磁場的下邊界時的速度大小是

mg(R+r)

B2L2

．
（2）求棒ab進入磁場區域勻速運動前速度達到v₁時的加速度大小是g．
（3）求棒ab在通過磁場區的過程中產生的焦耳熱是Q_ab=

r

R+r

[mg（d₀+d）-

m3g2(R+r)2

2B4L4

]．

點評：本題是電磁感應與力學知識的綜合，關鍵由E=BLv、I=

E

R+r

、F=BIL推導出安培力．