Question

【題目】如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P,其質量m=2×10-2 kg,電荷量q=0.2 C.將彈簧拉至水平后，以某一初速度豎直向下射出小球P,小球P到達O點的正下方O1點時速度恰好水平，其大小V=15 m/s.若O、O1相距R=1.5 m,小球P在O1點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的勻強磁場。此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5 m的圓周運動。小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s2。那么，

（1）判斷小球所帶電性；

（2）試求碰后小球N的速度的大小；

（3）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。

（4）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。

Answer 1

【答案】（1）帶正電（2）2.5m/s（3）不可能（4） （n=0.1.2.3）

【解析】（1）由題意知：N碰后做平拋，小球P在豎直平面內做勻速圓周運動，故P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷；

（2）設P、N碰后的速度大小分別為和V，并令水平向右為正方向

由，得①

若P、N碰后速度同向時②

計算可得，這種碰撞不能實現；

設P、N瞬時必為反向運動，有③得；④

（3）設P、N速度相等時，N經過的時間為tN，P經過的時間為tP，此時N的速度V1的方向與水平方向的夾角為θ，有：

cos⑤

解得： ， ⑥，代入數據得

對小球P，其圓周運動的周期為T，有⑦，即

P經過時，對應的圓心角為α，有⑧

當磁感應強度B的方向垂直于紙面向外時，若P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯立相關方程得

比較得： ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同；

當磁感應強度B的方向垂直于紙面向里時，若P、N的速度相同，如圖可知，有：

同上得

比較得： ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同；

（4）當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同， ，

再聯立①⑥⑦⑧解得

考慮圓周運動的周期性（n=0.1.2.3）

當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同，

同理得

考慮圓周運動的周期性，有（n=0.1.2.3）

（給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值）