Question

如圖所示，“×”型光滑金屬導軌abcd固定在絕緣水平面上，ab和cd足夠長，∠aOc=60°。虛線MN與∠bOd的平分線垂直，O點到MN的距離為L。MN左側是磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場。一輕彈簧右端固定，其軸線與∠bOd的平分線重合，自然伸長時左端恰在O點。一質量為m的導體棒ef平行于MN置于導軌上，導體棒與導軌接觸良好。某時刻使導體棒從MN的右側處由靜止開始釋放，導體在被壓縮彈簧的作用下向左運動，當導體棒運動到O點時彈簧與導體棒分離。導體棒由MN運動到O點的過程中做勻速直線運動。導體棒始終與MN平行。已知導體棒與彈簧彼此絕緣，導體棒和導軌單位長度的電阻均為r₀，彈簧被壓縮后所獲得的彈性勢能可用公式計算，k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量。

（1）證明：導體棒在磁場中做勻速直線運動的過程中，感應電流的大小保持不變；

（2）求彈簧的勁度系數k和導體棒在磁場中做勻速直線運動時速度v₀的大小；

（3）求導體棒最終靜止時的位置距O點的距離。

Answer 1

解：（1）設導體棒在磁場中做勻速直線運動時的速度為v₀，某時刻導體棒在回路中的長度為l，則此時感應電動勢

                 

        此時回路的電阻

                 

        回路中的感應電流

                                   ①           6分

        因為B、v₀和r₀均為不變量，所以感應電流I為不變量。

（2）釋放導體棒后，在未進入磁場的過程中，導體棒和彈簧組成的系統機械能守恒，則有

                        ②

        導體棒在磁場中做勻速直線運動的過程中，設某時刻導體棒距O的距離為x，根據牛頓第二定律有

                            ③

由①②③解得

                                     ④

                                  ⑤           6分

（3）導體棒過O點后與彈簧脫離，在停止運動前做減速運動。設某時刻導體棒距O點的距離為x，導體棒在回路中的長度為l，加速度為a，速度為v，回路中的電流強度為I，根據牛頓第二定律有

            

又因為 

    所以                        ⑥

取一段很短的時間，導體棒在回路中的長度為l、加速度為a和速度為v，l、a和v可認為不變。設在這段時間內導體棒速度的變化量大小為，回路所圍面積的變化量為。將⑥式左右兩邊同時乘以，可得

        則導體棒從O點開始運動到靜止的過程可表示為

               

即    

    所以  

          

        設導體棒最終靜止的位置距O點的距離為x₀，則

                            ⑦

由⑤⑦式可解得

                                  8分