Question

示波器是一種常用的電學儀器，可以在熒光屏上顯示出被檢測的電壓隨時間的變化情況．它的工作原理如圖1所示，真空室中陰極K逸出電子（初速度可忽略不計），經過電壓U_l=910V的加速電場后，由小孔S沿正對且相互靠近的水平金屬極板A、B 和豎直金屬板C、D 間的中心線依次通過兩對平行金屬板間．且已知A、B和C、D的長度均為l=0.20m，A、B和C、D兩板間的距離均為d=0.020m，金屬板的面積足夠大．在A、B兩板間加上如圖2所示的正弦交變電u₂，當A板電勢高于B板電勢時，電壓記為正值；在C、D兩板間加上如圖3所示的交變電壓u₃，當C板電勢高于D板電勢時，電壓記為正值．兩對金屬板間的電場可視為全部集中在兩板之間，且分布均勻．在C、D 兩極板右側與極板右端相距s=0.30m處有一個與兩對金屬板中心線垂直的熒光屏，中心線正好經過屏的中點．若不計兩對金屬板之間的距離，且熒光屏足夠大，并已知電子的質m=0.91×10^-30kg，所帶電荷量e=1.6x10^-19C，不計電子之間的相互作用力．

（1）要使所有的電子都能打在熒光屏上，兩對偏轉金屬板間所加電壓的最大值U₂₀、U₃₀應滿足什么條件？
（2）若U₂₀滿足（1）中的條件，要使熒光屏上能顯示出u₂ 的若干個完整周期內的波形，C、D 兩板間所加交變電壓u₃ 的周期應滿足什么條件？
（3）若熒光屏上顯示出一個u₂ 完整的波形，計算這個波形的峰值高度和最大長度，并在圖4中畫出這個波形．

Answer 1

分析：（1）電子經過電壓為U₁的加速電場加速時，根據動能定理求解電子進入AB板時的初速度．電子進入水平金屬板A．B間后做類平拋運動，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子飛出電場時偏轉距離y，當y＜

d

2

時所有的電子都能打在熒光屏上，求出最大值U₂₀、U₃₀需滿足的條件．
（2）要使熒光屏上能顯示u₂完整的波形，C、D兩板間所加交變電壓u₃的周期應為偏轉電壓u₂周期的整數倍．
（3）對于確定的U₂₀=18.2V，電子在兩板間的最大側移為 y_m=

d

2

=1cm；電子在通過C、D偏轉板的過程中，沿水平方向的最大側移為 x _m=

d

2

=1cm．根據三角形相似法求出波形的峰值高度和最大長度．波形為正弦曲線．

解答：解：
（1）對于電子在加速電場中的加速過程，設最終的速度為v₀，則由動能定理有：eU₁=

1

2

m

v

2 0

解得 v₀=

2eU1 m

=

2×1.6×10-19×910 9.1×10-31

=1.8×10⁷m/s
電子穿越金屬板的時間 t=

l

v0

=

l

v0

=

0.2

1.8×107

s=1.1×10^-8s
由于電子在金屬板間的運動時間遠小于偏轉電場u₂變化的周期，
所以電子通過兩對金屬板的過程中，電場可視為場強為定值的勻強電場
要使所有的電子都能打在熒光屏上，最大側移必須必須滿足：y＜

d

2

又電子在A、B板間運動的加速度為  a=

eU20

md

電子在電場方向做勻加速直線運動，則有 y=

1

2

at2
聯立得：y=

eU20l2

2md v 2 0

＜

d

2

解得 U₂₀＜

2d2U1

l2

=

2×0.022×910

0.2

V=18.2V
同理可得：U₃₀＜18.2V；
（2）要使熒光屏上能顯示u₂完整的波形，C、D兩板間所加交變電壓u₃的周期應為偏轉電壓u₂周期的整數倍，即 T=2n×10^-2 s（n，1，2，3…）；
（3）對于確定的U₂₀=18.2V，電子在兩板間的最大側移為 y_m=

d

2

=1cm
電子飛出A、B間的偏轉電場時，其速度的反向延長線通過偏轉電場的中心，設電子打在屏上距中心點沿豎直方向的最大距離（波形的峰值）為Y_m，則由幾何關系可知：
 

Ym

ym

=

s+l+ 1 2 l

1 2 l

解得：Y_m=6cm
同理，電子在通過C、D偏轉板的過程中，沿水平方向的最大側移為 x_m=

d

2

=1cm
設電子打在屏上距中心點水平方向的最大距離為X_m，則由幾何關系可知：
 

Xm

xm

=

s+ l 2

l 2

解得：X_m=4cm
波形為正弦曲線．波形如圖所示．　　
答：
（1）要使所有的電子都能打在熒光屏上，兩對偏轉金屬板間所加電壓的最大值U₂₀、U₃₀應滿足的條件分別為：U₂₀＜18.2V，U₃₀＜18.2V．
（2）要使熒光屏上能顯示出u₂ 的若干個完整周期內的波形，C、D 兩板間所加交變電壓u₃ 的周期應滿足的條件為：T=2n×10^-2s（n=1，2，3…）；
（3）這個波形的峰值高度和最大長度分別為4cm和6cm，波形如圖所示．

點評：帶電粒子在電場中的運動，在近幾年高考考查中頻率較高，多次出現帶電粒子在交變電場中運動的題目，縱觀這些題目，所涉及的情景基本相同，但命題往往擬定不同的題設條件，多角度提出問題，多層次考查能力．解決這類問題要從受力分析入手，分清各個物理過程，弄清帶電粒子運動情境，應用力學規律，借助圖象，定性分析、定量討論，并注意思維方法和技巧的靈活運用．