Question

【題目】如圖所示，半徑為R的光滑圓環(huán)豎直固定，質(zhì)量為3m的小球A套在圓環(huán)上；長(zhǎng)為2R的剛性(既不伸長(zhǎng)也不縮短)輕桿一端通過鉸鏈與A連接，另一端通過鉸鏈與滑塊B連接；滑塊B質(zhì)量為m，套在水平固定的光滑桿上。水平桿與圓環(huán)的圓心O位于同一水平線上。現(xiàn)將A置于圓環(huán)的最高處并給A一微小擾動(dòng)(初速度視為0)，使A沿圓環(huán)順時(shí)針自由下滑，不計(jì)一切摩擦，A、B均視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g。求：

(1) A滑到與圓心O同高度時(shí)的速度大小；

(2) A下滑至桿與圓環(huán)第一次相切的過程中，桿對(duì)B做的功。

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

當(dāng)A滑到與O同高度時(shí)，A的速度沿圓環(huán)切向向下，B的速度為零，對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用機(jī)械能守恒，求出A滑到與圓心O同高度時(shí)的速度大小；A下滑至桿與圓環(huán)第一次相切時(shí)，A的速度沿桿的方向，抓住A、B沿桿方向的分速度相等，結(jié)合系統(tǒng)機(jī)械能守恒求出B的速度，根據(jù)動(dòng)能定理求出桿對(duì)B做的功。

(1)當(dāng)A滑到與O同高度時(shí)，A的速度沿圓環(huán)切向豎直向下，B的速度為0，由機(jī)械能守恒定律得：3mgR＝×3mv2，

解得：

(2)桿與圓環(huán)第一次相切時(shí)，A的速度沿桿方向，設(shè)為vA，此時(shí)B的速度設(shè)為vB，

根據(jù)桿不可伸長(zhǎng)和縮短，得vA＝vBcos θ。

由幾何關(guān)系得

球A下落的高度h＝R(1－cos θ)＝

由機(jī)械能守恒定律得

由動(dòng)能定理得：

解得：