Question

如圖所示，在直角坐標平面的第I象限內有一勻強磁場區域，磁感應強度為B，直線OA是磁場右側的邊界．在第Ⅱ象限區域，存在電場強度大小為E的水平向左的勻強電場，y軸是電場、磁場區域的分界線曲線，OM滿足方程x=-ky²（k＞0）．有一帶電荷量為q、質量為m的負粒子（重力不計）在曲線OM上某一點由靜止釋放，穿越y軸進入磁場中．
（1）求帶電粒子穿越y軸時的速度與釋放點縱坐標的關系式；
（2）若粒子從OM上任何位置釋放，要求粒子穿過磁場區域后，都垂直于x軸射出求直線OA與x軸的夾角正切值tanθ（用題中已知物理量的符號表示）

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，結合OM滿足方程x=-ky²（k＞0）求出帶電粒子穿越y軸時的速度與釋放點縱坐標的關系式．
（2）粒子進入勻強磁場做勻速圓周運動，粒子都垂直x軸射出，則粒子偏轉90°，從而得知粒子射出磁場的點的x坐標值為圓周運動的半徑r，縱坐標為y-r，根據幾何關系，結合r與速度的關系，求出直線OA與x軸的夾角正切值tanθ．

解答：解：（1）設粒子釋放點的坐標為（x，y），則粒子受電場力作用作勻加速直線運動到y軸，由動能定理得，
qE（-x）=

1

2

mv2
又x=-ky²（k＞0）．
聯立解得v=

2qEk m

?y，即速度v與縱坐標成正比．
（2）入射點為y坐標的粒子，其速率為v=by，b=

2qEk m

，進入磁場后做圓周運動的軌道半徑為r，有：
qvB=m

v2

r

得r=

mv

qB

=

mby

qB

最后粒子都垂直x軸射出，則粒子偏轉90°
所以粒子射出磁場的點的x坐標值為r
由幾何關系可得，OA直線上任一點的坐標為（r，y-r）
則tanθ=

y-r

r

=

qB

mb

-1=B

q 2kmE

-1．
答：（1）帶電粒子穿越y軸時的速度與釋放點縱坐標的關系式為v=

2qEk m

?y．
（2）直線OA與x軸的夾角正切值tanθ=B

q 2kmE

-1．

點評：本題是帶電粒子在復合場中的運動，綜合運用了動能定理和牛頓第二定律，結合數學幾何關系進行求解．