Question

【選做題】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，第一象限存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場，第四象限存在垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=

mv0

qL

．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從y軸正半軸上的M點(diǎn)以速度v₀垂直于y軸射入電場，經(jīng)x軸上N點(diǎn)與x軸正方向成θ=60°角射入勻強(qiáng)磁場中，最后從y軸負(fù)半軸某一點(diǎn)P射出，已知M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3L），不計(jì)粒子重力，求：
（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度和粒子到N點(diǎn)的速度；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑和粒子打在P點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）粒子從進(jìn)入M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)所用的總時間．

Answer 1

（1）粒子在電場中運(yùn)動時做類平拋運(yùn)動：水平方向勻速直線，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動，合速度與分速度的關(guān)系如圖：

tan60°=

vy

vx

則vy=

3

v0
vy=at=

qEt

m

=

3

v0…①
且豎直方向做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動：OM=

1

2

at²=

qE

2m

t2=3L…②
由①②解得：E=

m v 20

2qL

vN=

v 2x + v 2y

=2v0
（2）粒子在電場中運(yùn)動，豎直方向的平均速度：

.

vy

=

0+vy

2

=

3

2

v0，
所以豎直方向的位移：3L=

3

2

v0t…③
水平方向的位移：x=0N=v₀t…④
由③④解得：x=2

3

L
由洛倫茲力提供向心力得：qBvN=m

vN2

R

則R=

mvN

qB

=2L
粒子在磁場中的運(yùn)動軌跡如圖：
由圖可以看出PN與x軸方向的30°，由于ON等于2

3

L，
則：PN=

ON

cos30°

=4L
PN距離恰好為半徑的兩倍，說明粒子正好從NP直徑出第四象限
即打在y軸負(fù)半軸的坐標(biāo)（0，-2L）
（3）粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，水平位移x=0N=v₀t=2

3

L，
解得：t=

2 3 L

v0

粒子在磁場中運(yùn)動軌跡為半圓，所需的時間：t₂=

πR

vN

=

π2L

2v0

=

πL

v0

所以粒子的運(yùn)動總時間為t_總=

2 3 L+πL

v0

答：（1）勻強(qiáng)電場的電場強(qiáng)度為

m v 20

2qL

，粒子到N點(diǎn)的速度為2v₀；
（2）粒子在磁場中運(yùn)動的軌道半徑為2L，粒子打在P點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，-2L）；
（3）粒子從進(jìn)入M點(diǎn)運(yùn)動到P點(diǎn)所用的總時間為

2 3 L+πL

v0

．