Question

【題目】在直角坐標系xOy中，A（﹣0.3，0）、C是x軸上的兩點，P點的坐標為（0，0.3）．在第二象限內以D（﹣0.3，0.3）為圓心、0.3m為半徑的 圓形區域內，分布著方向垂直xOy平面向外、磁感應強度大小為B=0.1T 的勻強磁場；在第一象限三角形OPC之外的區域，分布著沿y軸負方向的勻強電場．現有大量質量為m=3×10﹣9kg、電荷量為q=1×10﹣4C的相同粒子，從A點平行xOy平面以相同速率、沿不同方向射向磁場區域，其中沿AD方向射入的粒子恰好從P點進入電場，經電場后恰好通過C點．已知α=37°，不考慮粒子間的相互作用及其重力，求：

（1）粒子的初速度大小和電場強度E的大小；
（2）粒子穿越x正半軸的最大坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，設半徑r，粒子的初速度v

洛倫茲力提供向心力：qvB=m

可得：r= ①

根據題意和幾何知識，可得r=DP=0.3m代入①得：v=1×103m/s

沿AD方向的粒子由P點進入電場時，速度方向與y軸垂直．所以，該粒子在電場中做類平拋運動，設類平拋運動時間為t

x方向：OC=vt ②

y方向：OP= at2 ③

根據幾何關系得： =tanα ④

根據牛頓第二定律：Eq=ma ⑤

②③④⑤式子聯立得：E=112.5V/m

答：粒子的初速度大小v=1×103m/s，電場強度的大小為E=112.5V/m；

（2）設速度方向與x軸正方向的夾角為θ的入射粒子，從x正半軸穿過時距離O點最遠，粒子從F點離開磁場，其中O′是粒子運動軌跡的圓心，粒子運動到F點時的速度為vF，

由于粒子的運動半徑等于磁場的半徑，所以四邊形ADFO′為菱形，O′F∥AD，速度vF⊥O′F，而AD又是豎直方向，所以vF垂直于y軸從F′點進入電場，仍做類平拋運動

設粒子在電場中的運動時間為t′，粒子穿越x正半軸的最大坐標為xC，粒子做類平拋運動x方向的位移為x，F′點的坐標為（xF′，yF′），F點的縱坐標為yF，則yF=yF′，

類平拋過程，x方向：x=vt′⑥

y方向：yF= at′2 ⑦

粒子到達x軸的坐標為xC=x+xF′⑧

根據幾何關系得：xF′= ⑨

yF=r（1﹣cosθ） ⑩

聯立①⑥⑦⑧⑨⑩式，得：xC=0.4 +0.4cosθ

令 =k，所以xC=0.4k+0.4（1﹣k2）

根據數學知識可知，當k=0.5時xC有最大值，最大值為0.5m

答：粒子穿越x正半軸的最大坐標為0.5m．

【解析】（1）先根據洛倫茲力提供向心力，求出半徑，進而求出速度的大小，粒子在電場中，做類平拋運動有規律，列式求解。
（2）因為粒子進入電場時速度沿x軸的正方向，根據集合關系，求出到達x軸時的位置坐標，再結合數學，輔助角公式，求出粒子穿越x正半軸的最大坐標．