Question

（2008?江蘇）（平常練習改變）在場強為B的水平勻強磁場中，一質量為m、帶正電q的小球在O靜止釋放，小球的運動曲線如圖所示．已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到z軸距離的2倍，重力加速度為g．求：
（1）小球運動到任意位置P（x，y）的速率v．
（2）小球在運動過程中第一次下降的最大距離y_m．
（3）當在上述磁場中加一豎直向上場強為E（E＞mg/q）的勻強電場時，小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m．

Answer 1

分析：（1）首先分析，在任意時刻，小球都只受到重力和洛倫茲力．洛倫茲力始終方向與速度方向垂直，不做功，所以從原點到最低點只有重力做功，根據動能定理即可求得速度；
（2）設小球在最低點的速度為v，到x軸距離為h，最低點的曲率半徑為2h．對于小球運動到最低點時，小球的向心力由洛倫茲力與重力的合力提供，列出向心力公式，再結合第一問中的速度就可以求出小球在運動過程中第一次下降的最大距離y_m；
（3）加入電場后，結合動能定理和圓周運動向心力的公式即可以求得小球從O靜止釋放后獲得的最大速率v_m．

解答：解析：（1）洛侖茲力不做功，由動能定理得，
           mgy=

1

2

mv²   ①
           得  v=

2gy

 ②
（2）設在最大距離y_m處的速率為v_m，根據圓周運動有，qv_mB-mg=m 

vm2

R

 ③
且由②知   vm=

2gym

④
由③④及R=2y_m得   ym=

2m2g

q2B2

  ⑤
（3）小球運動如圖所示，
由動能定理 （qE-mg）|y_m|=

1

2

mvm2 ⑥
由圓周運動  qv_mB+mg-qE=m 

vm2

R

 ⑦
且由⑥⑦及R=2|y_m|解得
v_m=

2

qE

(qE-mg)．

點評：本題涉及到的知識點有洛倫茲力的性質（無論何時都不做功）、機械能守恒的條件與計算、圓周運動的計算，對同學們分析問題的能力要求較高，屬于中檔偏上的題目．