Question

（2011?四川）如圖所示：正方形絕緣光滑水平臺面WXYZ邊長l=1.8m，距地面h=0.8m．平行板電容器的極板CD間距d=0.1m且垂直放置于臺面，C板位于邊界WX上，D板與邊界WZ相交處有一小孔．電容器外的臺面區域內有磁感應強度B=1T、方向豎直向上的勻強磁場．電荷量q=5×10^-13C的微粒靜止于W處，在CD間加上恒定電壓U=2.5V，板間微粒經電場加速后由D板所開小孔進入磁場（微粒始終不與極板接觸），然后由XY邊界離開臺面．在微粒離開臺面瞬時，靜止于X正下方水平地面上A點的滑塊獲得一水平速度，在微粒落地時恰好與之相遇．假定微粒在真空中運動、極板間電場視為勻強電場，滑塊視為質點，滑塊與地面間的動摩擦因數μ=0.2，取g=10m/s²
（1）求微粒在極板間所受電場力的大小并說明兩板地極性；
（2）求由XY邊界離開臺面的微粒的質量范圍；
（3）若微粒質量m_o=1×10^-13kg，求滑塊開始運動時所獲得的速度．

Answer 1

分析：（1）微粒在平臺上按順時針方向轉動，由左手定則可判斷微粒的電性；在平行板電容器間加速，從而可判斷兩板的極性．
（2）微粒要由XY邊界離開臺面，由兩個邊界條件：一個是從XY的左端離開，再者是軌跡與YZ相切到達XY邊離開臺面，做出兩種情況下的軌跡圖，從而可知軌跡半徑的范圍，再由微粒在勻強磁場中的圓周運動的半徑公式，可求出微粒的質量范圍．
（3）先由半徑公式結合微粒的質量求出微粒的運動半徑，求出從XY邊緣離開平臺時的位置及與XY邊的夾角，此后微粒做平拋運動，直到與滑塊相遇；滑塊做勻減速直線運動，應用運動學公式結合幾何關系，便可求出滑塊的初始速度．

解答：解：
（1）由左手定則及微粒的偏轉方向可知，該微粒帶正電，即C板為正，D板為負；電場力的大小為：
F=qE=q

U

d

=1.25×10-11N…①
（2）由題意知兩個軌跡邊界如圖所示，由此邊界結合勾股定理得：

l

2

＜R≤l-d…②
再由向心力公式qvB=m

v2

R

得R=

mv

qB

…③
且qU=

1

2

mv2…④
聯立②③④式，得該微粒的質量范圍：
8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg
（3）將質量m_o=1×10^-13kg代入③④可得：
v=5m/s以及R=1m，其軌跡如圖所示．
由圖可知cosθ=

l-R

R

=0.8，也即是θ=37°…⑤
設微粒在空中的飛行時間為t，則由運動學公式有：
h=

1

2

gt2…⑥
則滑塊滑至與微粒相碰過程中微粒的水平位移為：
s=vt…⑦
微粒滑出點距左邊距離：
x=d+Rsinθ…⑧
由⑤⑥⑦⑧可得：
s=2m   x=0.7m．
由余弦定理，知滑塊的位移 S0=

S2+π2-2Sxcosθ

=1.5m．
由位移公式S0=v0t-

1

2

μgt2
解得：v₀=4.15m/s．
由正弦定理有：

S

sinα

=

S0

sinθ

S

sinφ

=

S0

sinθ

φ
得：sinφ=0.8
φ=arcsin0.8（或φ=53°）
答：（1）微粒在極板間所受電場力的大小1.25×10^-11N，C板為正，D板為負．
    （2）由XY邊界離開臺面的微粒的質量范圍為8.1×10^-14kg＜m≤2.89×10^-13kg．
    （3）若微粒質量m_o=1×10^-13kg，滑塊開始運動時所獲得的速度為4.15m/s．

點評：該題考察的數學知識在物理中的應用，尤其是三角函數的應用．三角函數的應用在近幾年高考試題中經常出現，盡管它只是起到運算作用，但是如果忘記了三角函數公式是無法進行下去的，自然得不到正確的結果．由于是物理試題，三角函數過程在解答過程可以不體現、只在草稿紙上畫．
此方面的問題具體要做到以下兩點：
（1）能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行推導和求解，并根據結果得出物理結論．
（2）必要時能運用幾何圖形、函數圖象進行表達、分析．