Question

如圖所示，一個內壁光滑的環形塑料管豎直放置，ab為該環形塑料管水平直徑，其長度為2R，ab及其以下部分處于水平向左的勻強電場中，電場強度為E．現將一質量為m、帶電荷量為+q的小球從管中a點由靜止釋放，球的直徑略小于管的內徑，已知qE=mg，求：
（1）小球第一次經過b點時的速度；
（2）小球第一次經過c點時對管壁的壓力；
（3）小球第一次經過adb過程中對管道的最大壓力．

Answer 1

分析：（1）小球從a運動到b的過程中，重力和電場力做功，根據動能定理求解小球第一次經過b點時的速度；
（2）由動能定理求出小球到達c點的速度，根據牛頓第二定律求解小球第一次經過c點時對管壁的壓力；
（3）根據動能定理得到速度與圖中夾角θ的表達式，由數學知識求出速度的最大值，此時小球對管道的最大壓力．根據牛頓第二定律求出最大壓力．

解答：解：（1）小球從a運動到b的過程中，由動能定理得
 

1 2 m v 2 b -0=2REq vb=2 gR

（2）小球從a運動到c的過程中，由動能定理
-mgR+EqR=

1

2

m

v

2 C

已知qE=mg，得v_C=0
在c點，mg+F_N=m

v 2 C

R

聯立解得，F_N=-mg，即軌道對小球的支持力豎直向上，則根據牛頓第三定律得：小球第一次經過c點時對管壁的壓力大小為mg，方向豎直向下．
（3）設當小球在如圖夾角θ時速度最大，由動能定理
(R+Rsinθ)Eq+mgRcosθ=

1

2

mv2
得2gR（1+sinθ+cosθ）=v²
所以v=

2gR(1+sinθ+cosθ)

=

2gR[1+ 2 sin(θ+45°)]

當θ=45°時 最大速度為v=

2gR(1+ 2 )

此時重力與電場力的合力為

2

mg
根據牛頓第二定律得：F_N-mg=m

v2

R

得 F_N=

2

mg+m

v2

R

=

2

mg+m

2gR(1+ 2 )

R

=mg(2+3

2

)
故小球第一次經過adb過程中對管道的最大壓力是mg（2+3

2

）
答：（1）小球第一次經過b點時的速度是2

gR

；
（2）小球第一次經過c點時對管壁的壓力大小為mg，方向豎直向下；
（3）小球第一次經過adb過程中對管道的最大壓力是mg（2+3

2

）．

點評：本題關鍵要分析求出小球的運動，然后多次根據動能定理、向心力公式和牛頓第二定律列式求解．