Question

如圖所示，兩根相距為d足夠長的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于水平的xOy平面內(nèi)，導(dǎo)軌與x軸平行，左端接有阻值為R的電阻．在x＞0的一側(cè)存在豎直向下的磁場，金屬棒質(zhì)量為m，電阻為r，與金屬導(dǎo)軌垂直放置，且接觸良好．開始時，金屬棒位于x=0處，現(xiàn)給金屬棒一大小為v、方向沿x軸正方向的初速度，金屬棒沿導(dǎo)軌滑動，金屬導(dǎo)軌電阻可忽略不計(jì)．問：
（1）金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做的功和電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱；
（2）若導(dǎo)軌間的磁場是勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x₁；
（3）若導(dǎo)軌間的磁場是非勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿x軸正方向增加，且大小滿足B²=kx，導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x₂．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)動能定理求出金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做功的大小，抓住克服安培力做功等于整個回路產(chǎn)生的熱量求出電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱．
（2）根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢，結(jié)合閉合電路歐姆定律以及安培力的大小公式求出安培力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，結(jié)合微分的思想求出導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時滑行的距離．
（3）將B²=kx代入微分表達(dá)式，采用微分的思想求出導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)x₂．
解答：解：（1）根據(jù)動能定理得，安培力做功
克服安培力做功等于整個回路產(chǎn)生的熱量，則
 所以電阻R上產(chǎn)生的熱量．
（2）切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢E=Bdv
安培力
根據(jù)牛頓第二定律得，
△v=a△t

解得
（3）將B²=kx代入得，

解得．
答：（1）金屬棒滑行過程中安培力對金屬棒做的功為，電阻R上產(chǎn)生的熱量為．
（2）導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)．
（3）導(dǎo)體棒最終在導(dǎo)軌上靜止時的坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題綜合考查了切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢、牛頓第二定律、閉合電路歐姆定律等知識，綜合性強(qiáng)，對數(shù)學(xué)能力的要求較高，是一道難題．