Question

如圖所示，豎直放置的半圓形絕緣軌道半徑為R，下端與絕緣水平面平滑連接，整個裝置處于方向豎直向上的勻強電場E中．一質量為m、帶電量為+q的物塊（可視為質點），從水平面上的A點以初速度v₀水平向左運動，沿半圓形軌道恰好通過最高點C，場強大小E＜

mg

q

．
（1）物塊經過最高點C的速度為多大？
（2）試計算物塊在運動過程中克服摩擦力做的功．
（3）證明物塊離開軌道落回水平面的水平距離與場強大小E無關，且為一常量．

Answer 1

分析：（1）物塊恰能通過圓弧最高點C，由重和電場力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律求出物塊通過最高點C時的速度；
（2）物塊在運動過程中，重力做負功，電場力做正功，摩擦力做負功，根據動能定理求解克服摩擦力做的功；
（3）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動，由運動學公式即可證明．

解答：解：（1）物塊恰能通過圓弧最高點C，圓弧軌道此時與物塊間無彈力作用，物塊受到的重力和電場力提供向心力，則有
   mg-Eq=m

vc2

R

①
解得，vc=

R(g- Eq m )

②
（2）物塊在由A運動到C的過程中，設物塊克服摩擦力做的功W_f，根據動能定理有
  Eq?2R-Wf-mg?2R=

1

2

mvc2-

1

2

mv02 ③
解得，Wf=

1

2

mv02+

5

2

(Eq-mg)R④
（3）物塊離開半圓形軌道后做類平拋運動，設水平位移為s，
  s=v_ct        ⑤
2R=

1

2

(g-

Eq

m

)?t2⑥
由⑤⑥聯立解得
  s=2R           ⑦
因此，物塊離開軌道落回水平面的水平距離與場強大小E無關，大小為2R．
答：（1）物塊經過最高點C的速度為

R(g- Eq m )

；
（2）物塊在運動過程中克服摩擦力做的功是

1

2

m

v

2 0

+

5

2

（Eq-mg）R．
（3）證明見上．

點評：本題是向心力與動能定理、平拋運動等等知識的綜合，關鍵要抓住物塊恰能通過最高點C的臨界條件，求出臨界速度．