Question

研究物體的運動時，常常用到光電計時器．如圖所示，當有不透光的物體通過光電門時，光電計時器就可以顯示出物體的擋光時間．光滑水平導軌MN上放置兩個物塊A和B，左端擋板處有一彈射裝置P，右端N處與水平傳送帶平滑連接，將兩個寬度為d=3.6×10^-3m的遮光條分別安裝在物塊A和B上，且高出物塊，并使遮光條在通過光電門時擋光．傳送帶水平部分的長度L=9.0m，沿逆時針方向以恒定速度v=6.0m/s勻速轉動．物塊B與傳送帶的動摩擦因數μ=0.20，物塊A的質量（包括遮光條）為m_A=2.0kg．開始時在A和B之間壓縮一輕彈簧，鎖定其處于靜止狀態，現解除鎖定，彈開物塊A和B，迅速移去輕彈簧．兩物塊第一次通過光電門，物塊A通過計時器顯示的讀數t₁=9.0×10^-4s，物塊B通過計時器顯示的讀數t₂=1.8×10^-3s，重力加速度g取10m/s²，試求：
（1）彈簧儲存的彈性勢能E_p；
（2）物塊B在傳送帶上滑行的過程中產生的內能；
（3）若物體B返回水平面MN后與被彈射裝置P彈回的A在水平面上相碰，碰撞中沒有機械能損失，則彈射裝置P必須對A做多少功才能讓B碰后從Q端滑出．

Answer 1

分析：（1）解除鎖定彈簧彈開物塊AB后，兩塊都做勻速運動，根據通過光電門的時間和d，求出兩物塊的速度，根據動量守恒定律和機械能守恒定律求出彈簧儲存的彈性勢能E_p；
（2）B滑上傳送帶后先向右做勻減速運動，當速度減小為零時，向右滑行的距離最遠．根據牛頓第二定律求出B的加速度，由速度位移公式求出向右運動的最大位移和時間，求出此時間內傳送帶運動的距離，得到兩者相對位移大小．當物塊B返回時，再求出兩者相對位移大小，即可由Q=μm_Bg△x求解內能．
（3）根據功能關系得到彈射裝置對A做功W與彈射前后A的速度關系．AB碰撞中動量和機械能都守恒，列出兩個守恒方程．B要剛好能滑出平臺Q端，碰后B的動能大于克服摩擦力做功，聯立求解彈射裝置P必須對A做多少功．

解答：解：（1）解除鎖定彈開AB后，AB兩物體的速度大小：
又v_A=

d

t1

=

3.6×10-3

9×10-4

m/s=4m/s
v_B=

d

t2

=

3.6×10-3

1.8×10-3

m/s=2m/s
根據系統的動量守恒得：m_Av_A=m_Bv_B；
解得：m_B=

mAvA

vB

=

2×4

2

kg=4kg
所以彈簧儲存的彈性勢能 E_P=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 B

=24J
（2）B滑上傳送帶勻減速運動，當速度減為零時，滑動的距離最遠．
由牛頓第二定律得：μm_Bg=m_Ba，得a=2m/s²．
B向右運動的距離為  x₁=

v 2 B

2a

=1m＜L，則物塊將返回，向右運動的時間為
t₁=

vB

a

=1s
傳送帶向左運動的距離為x₂=vt₁=6m
則B相對于傳送帶的位移為△x₁=x₁+x₂=7m
設B向左返回所用時間仍為t₁，位移為x₁，B相對于傳送帶的位移為△x₂=x₂-x₁=5m
故物塊B在傳送帶上滑行的過程中產生的內能為
   Q=μm_Bg（△x₁+△x₂）=96J
（3）設彈射裝置對A做功為W，則：

1

2

mA

v

′2 A

=

1

2

mA

v

2 A

+W ①
AB相碰，碰前B的速度為v_B=2m/s，設碰后B的速度為v_B′，則
 根據動量守恒和機械能守恒得
   m_Av_A′-m_Bv_B=m_Av_A″+m_Bv_B′②
  

1

2

mA

v

′2 A

+

1

2

mB

v

2 B

=

1

2

mA

v

″2 A

+

1

2

mB

v

′2 B

 ③
B要剛好能滑出平臺Q端，由能量關系有：

1

2

mB

v

′2 B

＞μm_BgL ④
代入解④得：v_B′＞6m/s
代入解②③得：v_A′=1.5v_B′+0.5v_B＞（1.5×6+1）m/s=10m/s
由①得：W＞84J
答：
（1）彈簧儲存的彈性勢能E_p是24J．
（2）物塊B在傳送帶上滑行的過程中產生的內能是96J；
（3）彈射裝置P必須對A做84J功才能讓B碰后從Q端滑出．

點評：本題是復雜的力學綜合題，綜合了運動學公式、牛頓第二定律、機械能守恒、動量守恒等多個知識，分析運動過程，選擇解題規律是關鍵．