Question

【題目】如圖所示,在某豎直平面內,光滑曲面AB與水平面BC平滑連接于B點,BC右端連接內壁光滑、半徑r=0.2m的四分之一細圓管CD,管口D端正下方直立一根勁度系數為k=100N/m的輕彈簧,彈簧一端固定,另一端恰好與管口D端平齊.一個質量為1kg的小球放在曲面AB上,現從距BC的高度為h=0.6m處靜止釋放小球,它與BC間的動摩擦因數μ=0.5,小球進入管口C端時,它對上管壁有FN=2.5mg的作用力.取重力加速度g=10m/s2.

（1）小球在C處受到的向心力大小;

（2）水平面BC段的長度；

（3）在壓縮彈簧過程中小球的最大動能Ekm.

Answer 1

【答案】（1）35N（2）0.5m（3）6J

【解析】

（1）通過受力分析得到豎直方向的合外力即向心力；

（2）由向心力求得速度，再對AC運動過程應用動能定理即可求解；

（3）根據速度最大時受力平衡求得彈簧壓縮量（由彈性勢能亦可求），再對下落過程應用動能定理即可求解．

（1）小球進入管口C端時，它與圓管上管壁有大小為F=2.5mg的相互作用力，故小球受到的向心力為：F向=2.5mg+mg=3.5mg=3.5×1×10N=35N；
（2）在C點應用牛頓第二定律有：；
小球從A點運動到C點過程，只有重力、摩擦力做功，故由動能定理可得：
mghμmgs＝ ；
所以有： ；
（3）在壓縮彈簧過程中速度最大時，合力為零．設此時小球離D端的距離為x0，則有kx0=mg
所以，x0＝＝0.1m；
小球下落過程只有重力、彈簧彈力做功，故機械能守恒，則由機械能守恒定律有：
mg(r+x0)+mvC2＝Ekm+Ep；
所以，Ekm＝mg(r+x0)+mvC2Ep=mg(r+x0)+F向rEp＝6J；