Question

如圖所示，豎直放置的光滑圓弧面AB與光滑的凹槽BbcC平滑銜接，CD為光滑的直軌道．質量為m=1kg的小鐵塊（可視為質點）自圓弧的A點由靜止開始滑下，A、B兩點的高度差h=0.45m，小鐵塊運動到B點后水平滑上質量為M=2kg的小車，小車的長度為L=0.65m，小鐵塊與小車的動摩擦因素?=0.5，小車的最右端與凹槽右端Cc的水平距離為S=0.7m，小車與凹槽右端Cc碰撞后立刻靜止，并與Cc粘合在一起不再分離．g=10m/s²．
求（1）小鐵塊運動到B點的速度大小v₀
（2）小車與凹槽右端Cc即將碰撞前的速度大小 v
（3）小鐵塊自靜止開始到滑離小車的運動過程中克服摩擦力所做的功W_f．

Answer 1

分析：（1）小鐵塊由A運動到B點的過程中，只有重力做功mgh，由動能定理求解小鐵塊運動到B點的速度大小v₀．
（2）假設小鐵塊滑上小車后與小車具有共同速度，根據動量守恒定律求出共同速度，由動能定理分別對鐵塊和小車進行研究，得到它們的位移，判斷速度相等時，小車是否到達凹槽右端和小鐵塊是否從小車上滑落．再確定小車與凹槽右端Cc即將碰撞前的速度大小v．
（3）分兩個過程求克服摩擦力所做的功W_f：小鐵塊滑上小車到與小車具有共同速度過程和小鐵塊自靜止開始到滑離小車的運動過程．

解答：解：（1）設小鐵塊由A運動到B點的速度為v₀，由動能定理有：
  mgh=

1

2

m

v

2 0

         
解得：v₀=3m/s     
（2）設小鐵塊滑上小車后具有共同速度v₁，由動量守恒定律有
   mv₀=（M+m）v₁     
解得：v₁=1m/s       
在該過程中，設小車的位移為s₁，由動能定理有
 μmgs1=

1

2

M

v

2 1

       
解得s₁=0.2s＜s，可知小車還沒到達凹槽右端   
設小鐵塊在此過程的位移為s₂，由動能定理有
  -μmgs2=

1

2

m

v

2 1

-

1

2

m

v

2 0

 
解得  s₂=0.8m            
小鐵塊與小車的位移之差△s=s₂-s₁=0.6m＜L，可知小鐵塊沒從小車上滑落．
綜合以上分析，小車與凹槽右端Cc端即將碰撞前的速度速度大小v=v₁=1m/s．
（3）小鐵塊滑上小車到與小車具有共同速度過程克服摩擦力做的功為W₁，有
 W₁=μmgs₂=4J
從小車與Cc端碰撞到小鐵塊離開小車的過程中小鐵塊克服摩擦力做的功為W₂，
 W₂=μmg（L-△s）=0.25J    
所以小鐵塊自靜止開始到滑離小車的運動過程中克服摩擦力所做的功
  W_f=W₁+W₂=4.25J
答：
（1）小鐵塊運動到B點的速度大小v₀是3m/s．
（2）小車與凹槽右端Cc即將碰撞前的速度大小v是1m/s．
（3）小鐵塊自靜止開始到滑離小車的運動過程中克服摩擦力所做的功W_f是4.25J．

點評：本題是動能定理、動量守恒定律的綜合應用，關鍵是分析鐵塊與小車速度相同時鐵塊和凹槽的位置．