Question

如圖所示，MN、PQ為間距L=0.5m足夠長的平行導軌，NQ⊥MN．導軌平面與水平面間的夾角θ=37°，NQ間連接有一個R=5Ω的電阻．有一勻強磁場垂直于導軌平面，磁感強度為B₀=1T．將一根質量為m=0.05kg的金屬棒ab緊靠NQ放置在導軌上，且與導軌接觸良好，導軌與金屬棒的電阻均不計．現由靜止釋放金屬棒，金屬棒沿導軌向下運動過程中始終與NQ平行．已知金屬棒與導軌間的動摩擦因數μ=0.5，當金屬棒滑行至cd處時已經達到穩定速度，cd距離NQ為s=1m．試解答以下問題：（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）請定性說明金屬棒在達到穩定速度前的加速度和速度各如何變化？
（2）當金屬棒滑行至cd處時回路中的電流多大？
（3）金屬棒達到的穩定速度是多大？
（4）若將金屬棒滑行至cd處的時刻記作t=0，從此時刻起，讓磁感強度逐漸減小，可使金屬棒中不產生感應電流，則磁感強度B應怎樣隨時間t變化（寫出B與t的關系式）？

Answer 1

分析：（1）要分析金屬棒的加速度和速度如何變化，就必須分析棒的受力情況．金屬棒釋放后向下滑動切割磁感線，產生感應電流，出現安培阻力，安培力與速度大小成正比，開始階段，安培力小于重力的下滑分力，棒做加速運動，安培力增大，加速度減�。�
（2）當棒做勻速直線運動時達到穩定速度時，根據受力平衡與安培力大小表達式，即可求解電流；
（3）根據法拉第電磁感應定律，閉合電路歐姆定律相結合，從而即可求解穩定時的速度；
（4）根據磁通量不變，不產生感應電流，棒不受安培力，做勻加速運動，由牛頓第二定律得到棒的位移與時間的關系，根據任意時刻的回路的磁通量等于t=0時刻的磁通量列式，即可求解．

解答：解：（1）在棒達到穩定速度前，金屬棒的加速度逐漸減小，速度逐漸增大．
（2）棒做勻速直線運動時達到穩定速度時，此時棒所受的安培力  F_A=B₀IL
由平衡條件得  mgsinθ=F_A+μmgcosθ
聯立得  I=

mg(sin37°-μcos37°)

B0L

=

0.05×10×(0.6-0.5×0.8)

1×0.5

=0.2A
（3）由E=B₀Lv、I=

E

R

得 金屬棒達到的穩定速度v=

IR

B0L

=

0.2×5

1×0.5

m/s=2m/s
（4）當回路中的總磁通量不變時，金屬棒中不產生感應電流．此時金屬棒不受安培力，將沿導軌做勻加速運動．
由牛頓第二定律得 mgsinθ-μmgcosθ=ma
得棒的加速度為  a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s²=2m/s²
則有  B0Ls=BL(s+vt+

1

2

at2)
得 B=

B0s

s+vt+ 1 2 at2

=

1×1

1+2t+t2

T=

1

t2+2t+1

T
答：
（1）在達到穩定速度前，金屬棒的加速度逐漸減小，速度逐漸增大．
（2）當金屬棒滑行至cd處時回路中的電流為0.2A．
（3）金屬棒達到的穩定速度是2m/s．
（4）磁感強度B隨時間t變化的關系式為B=

1

t2+2t+1

T．

點評：考查棒在磁場中切割，速度影響安培力，導致加速度變化，這是本題解題的亮點，同時還考查了法拉第電磁感應定律、閉合電路歐姆定律、牛頓第二定律等規律的應用，并運用不產生感應電流的條件．