Question

【題目】空間某區域存在勻強電場和勻強磁場，在此區域建立直角坐標系O-xyz，如圖所示，勻強電場沿x方向，電場強度，勻強磁場沿z方向，磁感應強度，E0、B0分別為已知常量，分別為x方向和z方向的單位矢量。

（1）有一束帶電量都為+q、質量都為m的粒子，同時從Oyz平面內的某點射出，它們的初速度均在Oyz平面內，速度的大小和方向各不相同，問經過多少時間這些粒子又能同時回到Oyz平面內。

（2）現在該區域內再增加一個沿x方向隨時間變化的勻強電場，電場強度，式中，若有一電荷量為正q、質量為m的粒子，在t=0時刻從坐標原點O射出，初速度v0在Oyz平面內，試求以后此粒子的坐標隨時間變化的規律。不計粒子所受重力以及各帶電粒子之間的相互作用，也不考慮變化的電場產生的磁場。

Answer 1

【答案】（1）粒子運動的周期與粒子在y方向的初速度無關．經過時間T或T的整數倍所考察的粒子就能同時回到Oyz平面.（2）

【解析】

1．根據題意，粒子的初速度只有y方向和z方向的分量，設它們為和.因為粒子在z方向不受電場力和磁場力作用，故粒子在z方向以初速度作勻速運動.

粒子在Oxy面內的運動可以看作由以下兩部分運動的合成：可把粒子在y方向的初速度表示為

(1)

其中

(2)

沿y負方向．與相關的磁場力

(3)

沿x負方向.粒子受到的電場力

(4)

沿x正方向．由(2)、(3)、(4)式可知，粒子在x方向受到的電場力和磁場力正好抵消，故粒子以大小為的速度沿y負方向運動．除此之外，由（1）式可知，粒子還具有初速度

(5)

沿y正方向，與相關的磁場力使粒子以速率在Oxy面內作勻速圓周運動，以表示圓周運動的半徑，有

(6)

可得

(7)

由周期的定義和(7)式可得圓周運動的周期

(8)

(8)式表明，粒子運動的周期與粒子在y方向的初速度無關．經過時間T或T的整數倍所考察的粒子就能同時回到Oyz平面.

2．增加的電場對粒子在Oxy平面內的運動無影響，但粒子在z方向要受到此電場力作用．以表示在此電場力作用下的加速度，有

(9)

或

(10)

這是簡諧運動的加速度，因而有

（11）

由(10)、（11）可得

(12)

因未增加電場時，粒子在z方向作初速度為的勻速運動，增加電場后，粒子在z方向的運動是勻速運動與簡諧運動的疊加，即有

（13）

粒子在Oxy平面內的運動不受電場的影響．設為粒子在Oxy平面內作圓周運動的角速度，則有

(14)

由圖示可得與圓周運動相聯系的粒子坐標隨時間t的變化關系

(15)

(16)

考慮到粒子在y方向還具有速度為的勻速運動，并利用(2)、(5)、(7)、(14)以及己知條件，可得帶電粒子的運動規律：

(17)

(18)

(19)