Question

如圖所示，A為位于一定高度處的質量為m=1×10^-5kg、帶電荷量為q=+1×10^-6C的微粒，B為位于水平地面上的質量為M的用特殊材料制成的長方形空心盒子，盒子與地面間的動摩擦因數μ=0.2，盒內存在著豎直向上的勻強電場，場強大小E=1×10³N/C，盒外存在著豎直向下的勻強電場，場強大小也為E，盒的上表面開有一系列略大于微粒的小孔，孔間距滿足一定的關系，使得微粒進出盒子的過程中始終不與盒子接觸．當微粒A以1m/s的速度從孔1進入盒子的瞬間，盒子B恰以v₁=0.4m/s的速度向右滑行．設盒子足夠長，取重力加速度g=10m/s²，不計微粒的重力，微粒恰能順次從各個小孔進出盒子．試求：
（1）從微粒第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程；
（2）微粒A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間；
（3）盒子上至少要開多少個小孔，才能保證微粒始終不與盒子接觸．

Answer 1

分析：（1）盒子做勻減速運動，求出盒子的加速度，根據勻變速直線運動位移速度公式即可求解；
（2）小球A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間分為兩部分，A在盒子內運動時運動牛頓第二定律求出加速度，再用運動學基本公式求出時間，A在盒子外運動的時間根據運動學基本公式即可求得，時間之和即為經歷的總時間；
（3）分別求出小球在盒內和盒外時的盒子的加速度，進而求出小球運動一個周期盒子減少的速度，再求出從小球第一次進入盒子到盒子停下，小球運動的周期數n，要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數至少為2n+1個．

解答：解：（1）微粒在盒子內、外運動時，盒子的加速度a′=

μMg

M

=μg=0.2×10 m/s²=2 m/s²，盒子全過程做勻減速直線運動，所以通過的總路程是：s=

v 2 1

2a/

=

0.42

2×2

m=0.04m
（2）A在盒子內運動時，qE=ma方向以向上為正方向
由以上得a=

qE

m

=

1×10-6×1×103

1×10-5

 m/s²=1×10² m/s²
A在盒子外運動時，qE=ma則a=

qE

m

=1×10² m/s²  方向向下
A在盒子內運動的時間t₁=

2v

a

=

2×1

1×102

s=2×10^-2s，同理A在盒子外運動的時間t₂=2×10^-2s，A從第一次進入盒子到第二次進入盒子的時間t=t₁+t₂=4×10^-2s．
（3）微粒運動一個周期盒子減少的速度為△v=a′（t₁+t₂）=2×（0.02+0.02）=0.08m/s
從小球第一次進入盒子到盒子停下，微粒球運動的周期數為n=

v1

△v

=

0.4

0.08

=5，故要保證小球始終不與盒子相碰，盒子上的小孔數至少為2n+1個，即11個．
答：（1）從微粒第一次進入盒子至盒子停止運動的過程中，盒子通過的總路程為0.04m；
（2）微粒A從第一次進入盒子到第二次進入盒子所經歷的時間為4×10^-2s；
（3）盒子上至少要開11個小孔，才能保證微粒始終不與盒子接觸．

點評：該題是較為復雜的往復運動，要求同學們能正確分析每個過程的受力情況，求出加速度、時間和位移，要求較高，難度適中．