Question

一足夠長的矩形區域abcd內充滿磁感應強度為B、方向垂直紙面向里的勻強磁場，矩形區域的左邊界ad長為L，現從ad中點O垂直于磁場射入一速度方向與ad邊夾角為30°、大小為v₀的帶正電粒子，如圖所示．已知粒子電荷量為q，質量為m（重力不計）：
（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v₀應滿足什么條件？
（2）若要求粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從哪一條邊界處射出？最長時間是多少？出射點位于該邊界上何處？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律，由洛倫茲力提供向心力，結合幾何關系可確定半徑的范圍，即可求解；
（2）根據題意確定運動軌跡，再由圓心角與周期公式，即可確定最長運動的時間；根據半徑公式與半徑的取值，即可求解．

解答：解：（1）粒子帶正電，粒子運動的軌跡如圖所示，當粒子的速度大于與R₁相對應的速度v₁時，粒子將恰好不從dc邊射出．
由幾何關系可得：R₁=L…①
由洛侖茲力和向心力公式可得：qv₁B=m

v12

R1

…②
當粒子的速度小于與R₂相對應的速度v₂時，粒子將從ad邊射出．
由幾何關系可得：R₂+R₂sin30°=

1

2

L…③
由③式解得：R₂=

1

3

L…④
由洛侖茲力和向心力公式可得：qv₂B=m

v22

R2

…⑤
將①④式分別代入②⑤式可解得v₁=

qBL

m

，v₂=

qBL

3m

所以v₀的取值范圍是

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若粒子在磁場中運動的時間最長，其對應的圓周運動的圓心角必然最大，在答圖中，當粒子的速度小于v₂時，粒子從ad邊的不同位置射出時，其半徑雖不同，但圓心角的夾角都是

5

6

×2π，所以粒子在磁場中的運動時間也是

5

6

T，此即粒子在磁場中運動的最長時間．
粒子運動的周期：T=

2πR

v

=

2πm

qB

所以粒子運動的最長時間為：t=

5

6

T=

5πm

3qB

.

OP

=2R₂sin30°=R₂=

1

3

L
即：粒子將從O點上方的

1

3

L的范圍射出磁場．
答：（1）若要求粒子能從ab邊射出磁場，v₀應滿足

qBL

3m

＜v₀≤

qBL

m

．
（2）若要求粒子在磁場中運動的時間最長，粒子應從ad邊界處射出，最長時間是

5πm

3qB

，
出射點位于該邊界上O點上方

1

3

L處．

點評：考查牛頓第二定律的應用，掌握幾何關系在題中的運用，理解在磁場中運動時間與圓心角的關系．注意本題關鍵是畫出正確的運動軌跡．