Question

如圖所示，P為位于某一高度處的質量為m的物塊，B為位于水平地面上的質量為M的特殊長平板，

m

M

=

1

2

，平板與地面間的動摩擦因數為μ=0.1．在板的上表面上方，存在一定厚度的“相互作用區域”，如圖中劃虛線的部分，當物塊P進入相互作用區時，B便有豎直向上的恒力f作用于P，f=11mg，f對P的作用使P剛好不與B的上表面接觸；在水平方向P、B之間沒有相互作用力．已知物塊P開始自由落下的時刻，板B向右的速度為v₀=10.0m/s．P從開始下落到剛到達相互作用區所經歷的時間為T₀=1s． 設B板足夠長，保證物塊P總能落入B板上方的相互作用區，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）相互作用區域的厚度．
（2）P第一次回到初始位置經歷的時間．
（3）當B開始停止運動那一時刻，P的位置．

Answer 1

分析：（1）物塊P在進入“相互作用區域”之前做自由落體運動，加速度為g，進入“相互作用區域”之后做勻減速直線運動，由自由落體運動的規律求出P剛到達板的上表面時的速度，再由動能定理研究勻減速運動過程，即可求得相互作用區域的厚度．
（2）根據牛頓第二定律求出加速度．根據兩個過程速度的關系求解P從進入“相互作用區域”到離木板最近過程所經歷的時間，根據對稱性求出物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間．
（3）對于B的運動過程分三段；
①在P從開始下落到進入“相互作用區域”的時間t₀內，B物體做勻減速直線運動，由速度公式求出末速度．
②在P進入到離開“相互作用區域”的過程，B物體做勻減速直線運動，求出末速度．
③在P從離開“相互作用區域”到回到初位置的t₀時間內，B做勻減速直線運動，再求出末速度．
根據三個過程的初速度、末速度和時間，由平均速度和時間求出總位移．

解答：解：（1）物塊P自由下落時，剛到達板的上表面時的速度v=gT₀=10m/s．
P進入相互作用區域的過程，根據動能定理得：mgH-fH=0-

1

2

mv2
代入解得，H=0.5m．
（2））對于P，取向下方向為正方向，對于B取水平向右為正方向．
物塊P在進入“相互作用區域”之前，P、B的加速度分別是a_P=g=10m/s²，a_B=-μg=-1m/s²．
物塊P在進入“相互作用區域”之后，P、B的加速度分別是a_P′=

mg-f

m

=-100m/s²，a_B′=-

μ(Mg+f)

M

=-6.5m/s²．
設P從進入“相互作用區域”到離木板最近過程所經歷的時間為t，則
  a_PT₀+a_P′t=0
解得t=0.1s
根據對稱性得到物塊P從開始自由下落到再次回到初始位置所經歷的時間T=2（t₀+t）=2.2s
（3）設板速度為零時，P一共回到出發點n次．由以上分析得：
v₀+2na_BT₀+2na_B′t=0
解得，n=3.03次，
三次后，板的速度為v=v₀+2×3a_BT₀+2×3a_B′t=0.1m/s
則此時P又下落的時間為t′=

v

aB

=0.1s
h=

1

2

g(

T

2 0

-t′2)=4.95m
即當B開始停止運動那一時刻，P距地面4.95 m．
答：
（1）相互作用區域的厚度為0.5m
（2）P第一次回到初始位置經歷的時間為2.2s．
（3）當B開始停止運動那一時刻，P距地面4.95 m．

點評：本題考查運用牛頓第二定律和運動學公式分析和解決復雜動力學問題的能力，關鍵是分析受力情況和運動情況．