Question

某同學設想用帶電粒子的運動軌跡做出“0”字樣，首先，在真空空間的豎直平面內建立xoy坐標系，在x₁=-0.1m和x₂=0.1m處有兩個與y軸平行的豎直界面PQ、MN把空間分成Ⅲ、Ⅱ、Ⅰ三個區域，在這三個區域中分別存在勻強磁場B₃、B₂、B₁，其大小滿足B₂=2B₃=2B₁=0.02T，方向如圖所示．在Ⅱ區域中的x軸上、下兩側還分別存在勻強電場E₁、E₂（圖中未畫出），忽略所有電、磁場的邊緣效應，ABCD是以坐標原點O為中心對稱的正方形，其邊長a=0.2m．現在界面MN上的A點沿x軸正方向發射一個比荷q/m=1.0×10⁸C/kg的帶正電的粒子（其重力不計），粒子恰能沿圖中實線運動，途經B、C、D三點后回到A點，做周期性運動，軌跡構成一個“0”字，已知粒子每次穿越Ⅱ區域時均作直線運動．試求：

（1）粒子自A點射出時的速度大小v₀；
（2）電場強度E₁、E₂的大小和方向；
（3）粒子作一次周期性運動所需的時間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在區域Ⅰ中做勻速圓周運動，直徑2R=a，粒子由洛倫茲力充當向心力，由牛頓第二定律可求出速度v₀；
（2）帶電粒子在區域Ⅱ和Ⅲ中做勻速直線運動，電場力與洛倫茲力平衡，由左手定則判斷洛倫茲力的方向就能知道電場力的方向和電場強度方向．由二力平衡列式，求場強的大小．
（3）由運動學公式求出粒子在區域Ⅱ和Ⅲ中勻速直線運動的時間，粒子在區域Ⅰ和Ⅲ中做勻速圓周運動，剛好運動了一個周期，由周期公式求時間，即可求得總時間．

解答：解：（1）帶電粒子在區域Ⅰ中做勻速圓周運動，直徑2R=a，由
  qv₀B₁=m

v 2 0

R

得v0=

qB1R

m

=1×10⁵m/s
（2）帶電粒子在區域Ⅱ中做勻速直線運動，電場力與洛倫茲力平衡，由左手定則判斷可知洛倫茲力的方向沿y軸正方向，則電場力沿y負方向，電場強度E₁也沿y軸負方向．
  且有  qv₀B₂=qE₁，則得E₁=v₀B₂=2×10³N/C．
同理，E₂=v₀B₂=2×10³N/C，方向沿y軸正方向．
（3）粒子在區域Ⅱ運動的時間t₁=2×

a

v0

在區域Ⅰ和Ⅲ中運動的時間t₂=T=

2πm

qB1

則得粒子作一次周期性運動所需的時間t=t₁+t₂=2×

a

v0

+

2πm

qB1

代入數據解得，t=（4+2π）×10^-6s
答：
（1）粒子自A點射出時的速度大小v₀是1×10⁵m/s．
（2）電場強度E₁的大小為2×10³N/C，方向沿y軸負方向；E₂的大小為2×10³N/C，方向沿y軸正方向．
（3）粒子作一次周期性運動所需的時間是（4+2π）×10^-6s．

點評：本題是粒子速度選擇器與磁場偏轉的綜合，通過分析粒子的受力情況來分析其運動情況是關鍵，運用牛頓第二定律和圓周運動、勻速直線運動的規律結合求解．