Question

（2012?河北模擬）如圖所示裝置中，區域Ⅰ和Ⅲ中分別有豎直向上和水平向右的勻強電場，電場強度分別為E和

E

2

；Ⅱ區域內有垂直向外的水平勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、帶電量為q的帶負電粒子（不計重力）從左邊界O點正上方的M點以速度v₀水平射入電場，經水平分界線OP上的A點與OP成60°角射入Ⅱ區域的磁場，并垂直豎直邊界CD進入Ⅲ區域的勻強電場中．求：
（1）粒子在Ⅱ區域勻強磁場中運動的軌道半徑
（2）O、M間的距離
（3）粒子從M點出發到第二次通過CD邊界所經歷的時間．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強電場Ⅰ中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速運動，由題意，粒子經過A點的速度方向與OP成60°角，即可求出此時粒子的速度．粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律即可求出軌道半徑．
（2）粒子在勻強電場中運動時，由牛頓第二定律求得加速度，在A點，豎直方向的速度大小為v_y=v₀tan60°，由速度公式求解時間，由位移求得O、M間的距離．
（3）畫出粒子在Ⅱ區域磁場中的運動軌跡，由幾何知識求出軌跡對應的圓心角θ，根據t=

θ

2π

T，求出在磁場中運動的時間．粒子進入Ⅲ區域的勻強電場中后，先向右做勻減速運動，后向左做勻加速運動，第二次通過CD邊界．由牛頓第二定律和運動學公式結合可求得粒子在Ⅲ區域電場中運行時間，即可求解粒子從M點出發到第二次通過CD邊界所用時間．

解答：解：（1）粒子在勻強電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，設粒子過A點時速度為v，
由類平拋運動的規律知  v=

v   0

cos60°

粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，由牛頓第二定律得
   Bqv=m

v2

R

所以     R=

2mv0

qB

（2）設粒子在電場中運動時間為t₁，加速度為a．

則有qE=ma
   v₀tan60°=at₁
即t1=

3 mv0

qE

O、M兩點間的距離為 L=

1

2

a

t

2 1

=

3m v 2 0

2qE

（3）設粒子在Ⅱ區域磁場中運動時間為t₂．
則由幾何關系知軌道的圓心角∠AO₁D=60°，則
   t2=

T1

6

=

πm

3qB

設粒子在Ⅲ區域電場中運行時間為t₃，則牛頓第二定律得
  a′=

q E 2

m

 =

qE

2m

則 t3=2

2v0

a′

=

8mv0

qE

故粒子從M點出發到第二次通過CD邊界所用時間為
  t=t1+t2+t3=

3 mv0

qE

+

πm

3qB

+

8mv0

qE

=

(8+ 3 )mv0

qE

+

πm

3qB

答：
（1）粒子在Ⅱ區域勻強磁場中運動的軌道半徑是

2mv0

qB

．
（2）O、M間的距離是

3m v 2 0

2qE

．
（3）粒子從M點出發到第二次通過CD邊界所經歷的時間是

(8+ 3 )mv0

qE

+

πm

3qB

．

點評：本題中帶電粒子在復合場中運動，運用運動的分解法研究類平拋運動，畫軌跡是處理粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動的關鍵．