Question

【題目】（22分）如圖所示，在xoy坐標平面的第一象限內有一沿y軸負方向的勻強電場，在第四象限內有一垂直于平面向里的勻強磁場，現有一質量為m、電量為+q的粒子（重力不計）從坐標原點O射入磁場，其入射方向與y的方向成45°角。當粒子運動到電場中坐標為（3L，L）的P點處時速度大小為v0,方向與x軸正方向相同。求：

（1）粒子從O點射入磁場時的速度v；

（2）勻強電場的場強E0和勻強磁場的磁感應強度B0；

（3）粒子從O點運動到P點所用的時間.

Answer 1

【答案】若粒子第一次在電場中到達最高點P，則其運動軌跡如圖所示。（2分）

（1）設粒子在O點時的速度大小為v，OQ段為圓周，QP段為拋物線。根據對稱性可知，粒子在Q點時的速度大小也為v，方向與x軸正方向成45°角，可得：

V0=vcos45° (2分)

解得：v=v0(1分)

（2）在粒子從Q運動到P的過程中，由動能定理得：

-qEL=mv02-mv2(2分)

解得：E=（1分）

又在勻強電場由Q到P的過程中，

水平方向的位移為（1分）

豎直方向的位移為（1分）

可得XQP=2L，OQ=L（2分）

由OQ=2RCOS45°故粒子在OQ段圓周運動的半徑：R=L 及得。（3分）

（3）在Q點時，vy=v0tan45°=v0(1分)

設粒子從Q到P所用時間為t1,在豎直方向上有：t1==(2分)

粒子從O點運動到Q所用的時間為：t2=(1分)

則粒子從O點運動到P點所用的時間為：t總=t1+t2=+=(3分)

【解析】

試題（1）粒子從O點進入勻強磁場后在洛倫茲力作用下做勻速圓周運動，則其運動軌跡如圖所示，經過磁場后進入電場，到達P點 （2分）

假設粒子在O點時的速度大小為v，OQ段為圓周，QP段為拋物線。

根據洛倫茲力與速度垂直不做功 可知粒子在Q點時的速度大小也為v，根據對稱性可知方向與x軸正方向成45°角，可得：

Q點速度大小為，方向與X軸成斜向上。

進入電場后，電場力為豎直方向，水平方向勻速直線運動，所以有(2分)

解得：(1分)

（2）在粒子從Q運動到P的過程中，由動能定理得：

(2分)

解得：（1分）

又在勻強電場由Q到P的過程中，

水平方向勻速直線運動的速度，為位移為（1分）

豎直方向初速度勻減速到0的位移為（1分）

可得，（2分）

由幾何關系可得粒子在OQ段圓周運動的半徑：

根據洛倫茲力提供向心力得

得（2分）

（3）在Q點時，豎直分速度(1分)

設粒子從Q到P所用時間為,在豎直方向上有：t1==(1分)

粒子從O點運動到Q運動的圓心角為90度，所用的時間為：(1分)

則粒子從O點運動到P點所用的時間為：(1分)