Question

【題目】如圖，半徑R=0.5m的光滑半圓弧軌道固定在豎直平面內，AB是軌道的豎直直徑，軌道下端點B上靜止著質量m=2kg的小物塊，軌道在B點與傾角θ=30°的傳送帶(輪子半徑很小)上端點相切：電動機帶動傳送帶以v=8m/s的速度逆時針勻速運動，傳送帶下端點C與水平面CDO平滑連接，B、C間距L=4m；一輕質彈簧的右端固定在O處的擋板上，質量M=10kg的物體靠在彈簧的左端D處。現(xiàn)將M壓縮彈簧一定距離后由靜止釋放，M在傳送帶上一直做勻加速直線運動，在軌道上B點M與m正碰(碰撞時間不計)，碰后兩物體粘在一起且恰好能沿圓軌道通過A點。上述過程中，M經C點滑上和經B點離開傳送帶時，速度大小不變，方向分別變?yōu)檠貍魉蛶�向上和水平向左。已�?/span>M與傳送帶間的動摩擦因數(shù)為μ=，且m、M均可視為質點，重力加速度大小g=10m/s2，則：

(1)在圓弧軌道的B點，m、M碰后粘在一起的瞬間對軌道的壓力大小；

(2)M在傳送帶上運動的過程中，求系統(tǒng)由于摩擦產生的熱量Q及帶動傳送帶的電動機由于運送M多輸出的電能E。

Answer 1

【答案】(1)720N (2)180J 480J

【解析】

（1）m、M恰好能通過A點，在A點，重力通過向心力，由牛頓第二定律得：
（m+M）g=（m+M），
代入數(shù)據解得：vA=m/s，
從B到A過程，由機械能守恒定律得：(m+M)vB2＝(m+M)vA2+(m+M)g×2R，
代入數(shù)據解得：vB=5m/s；
在圓弧軌道上的B點，由牛頓第二定律得：
F-（m+M）g=（m+M），
代入數(shù)據解得：F=720N，
由牛頓第三定律可知，物體對軌道的壓力：F′=F=720N，方向：豎直向下；
（2）設碰撞前M的速度為v1，在C的速度為vC，在傳送帶上的加速度為a，運動時間為t，
m、M碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，
由動量守恒定律得：Mv1=（m+M）vB，
代入數(shù)據解得：v1=6m/s，
M在傳送帶上運動過程，由牛頓第二定律得：μ1Mgcosθ-Mgsinθ=Ma，
代入數(shù)據解得：a=2.5m/s2，
由運動學公式得：v12-vC2=2aL，
代入數(shù)據解得：vC=4m/s，
由運動學公式得：v1=vC+at，
代入數(shù)據解得：t=0.8s，
傳送帶在t內的位移：x1=vt=8×0.8=6.4m，
摩擦產生的熱量：Q=μ1Mgcosθ（x1-L），
代入數(shù)據解得：Q=180J；

由能量守恒定律得：E=MgLsinθ+Mv12-MvC2+Q，
代入數(shù)據解得：E=480J；