Question

【題目】小明設計了一個彈球游戲裝置，如圖所示，ABCD為四分之三圓弧軌道，A端通過豎直過渡軌道PA與彈射裝置相連，D端通過水平過渡軌道DE與水平軌道EG相連，兩過渡軌道稍微錯開；管徑很小的圓形細管與軌道EG相切于O點，細管底部進出口O、稍微錯開，整個軌道固定于同一豎直平面內，各段軌道間均平滑連接�，F有一小球（可視為質點）被壓縮的輕彈簧從P點彈出后沿軌道運動。已知小球質量m=0.2kg，軌道ABCD的半徑r=0.1m，細管的圓半徑R=0.2m，P、A兩點間的高度差h=0.5m，O、E兩點間的距離L=1m，O、G兩點間的距離足夠大，小球與軌道EG間的動摩擦因數，其余軌道均光滑，彈簧的最大彈性勢能Epm=2.2J彈簧的形變始終不超過其彈性限度，小球運動時始終未脫離軌道。

(1)求小球通過B點的最小速度和對應的彈簧彈性勢能；

(2)為使小球最終停在EO段，求彈簧彈性勢能應滿足的條件；

(3)以O點為坐標原點，O點指向G點的方向為正方向建立x軸，在圖乙中畫出彈簧彈性勢能Ep與小球最終停下的位置坐標x的關系圖線（本小題不需要寫出具體解答過程，但需要標出關鍵點的坐標值）。

Answer 1

【答案】(1)1m/s，1.3J；(2)1.3J≤Ep≤1.8J；(3)

【解析】

（1）在B點，當軌道對小球的彈力恰好為零時，根據向心力公式有

解得

vB=1m/s

從P點到B點，根據功能關系有

Ep1=mg（h+r）+

解得

Ep1=1.3J

（2）若小球恰好到達F點，從P點到F點，根據功能關系有

Ep2=mg（h-r+2R）+μmgL

解得

Ep2=2J

此后小球返回，根據功能關系有

mg·2R=mgh1+μmgL

解得

h1=0.2m=2r＞r=0.1m

小球會在CB間脫離軌道

若小球在到達F點前返回恰好到達C點，從P點到C點，根據功能關系有:

Ep3=mgh+μmg·2L

解得

Ep3=1.8J

故要使小球最終停在EO段，彈簧彈性勢能應滿足

1.3J≤Ep3≤1.8J

（3）當Ep>2J時，小球停在OG段，根據功能關系有

Ep=-mg（h-r）+μmg（L+x）

解得

Ep=0.4x+1.2 （2m＜x≤2.5m）

當1.3J≤Ep3≤1.8J時，小球停在EO段；當小球在EO段恰好往返一次到E點時，根據功能關系有

Ep4=mg·（h-r）+μmg·2L

解得

Ep4=1.6J

當

1.3J≤Ep3<1.6J

時，根據功能關系有

Ep=mg（h-r）+μmg（L+x）

解得

Ep=-0.4x+1.2 （-1m＜x≤-0.25m）

當1.6J≤Ep3≤1.8J時，根據功能關系有

Ep=-mg·（h-r）+μmg{（2L+[L-（-x）]}

解得

Ep=0.4x+2 （-1m≤x≤-0.5m）

圖線如圖所示: