Question

【題目】如圖甲所示，粗糙水平面與豎直的光滑半圓環在N點相切，M為圈環的最高點，圓環半徑為R=0.1m，現有一質量m=1kg的物體以v0=4m/s的初速度從水平面的某點向右運動并沖上豎直光滑半圓環，取g=10m/s2，求：

（1）物體能從M點飛出，落到水平面時落點到N點的距離的最小值Xm

（2）設出發點到N點的距離為S，物體從M點飛出后，落到水平面時落點到N點的距離為X，作出X2隨S變化的關系如圖乙所示，求物體與水平面間的動摩擦因數μ

（3）要使物體從某點出發后的運動過程中不會在N到M點的中間離開半固軌道，求出發點到N點的距離S應滿足的條件

Answer 1

【答案】（1）0.2m；（2）0.2；（3）0≤x≤2.75m或3.5m≤x＜4m．

【解析】

（1）由牛頓第二定律求得在M點的速度范圍，然后由平拋運動規律求得水平位移，即可得到最小值；

（2）根據動能定理得到M點速度和x的關系，然后由平拋運動規律得到y和M點速度的關系，即可得到y和x的關系，結合圖象求解；

（3）根據物體不脫離軌道得到運動過程，然后由動能定理求解．

（1）物體能從M點飛出，那么對物體在M點應用牛頓第二定律可得：mg≤，所以，vM≥＝1m/s；
物體能從M點飛出做平拋運動，故有：2R＝gt2，落到水平面時落點到N點的距離x＝vMt≥＝2R＝0.2m；
故落到水平面時落點到N點的距離的最小值為0.2m；
（2）物體從出發點到M的運動過程作用摩擦力、重力做功，故由動能定理可得：μmgx2mgR＝mvM2mv02；
物體從M點落回水平面做平拋運動，故有：2R＝gt2，；
由圖可得：y2=0.48-0.16x，所以，μ＝＝0.2；
（3）要使物體從某點出發后的運動過程中不會在N到M點的中間離開半圓軌道，那么物體能到達的最大高度0＜h≤R或物體能通過M點；
物體能到達的最大高度0＜h≤R時，由動能定理可得：μmgxmgh＝0mv02，

所以，，

所以，3.5m≤x＜4m；
物體能通過M點時，由（1）可知vM≥＝1m/s，

由動能定理可得：μmgx2mgR＝mvM2mv02；
所以，

所以，0≤x≤2.75m；