Question

宇宙中存在一些離其它恒星很遠的四顆恒星組成的四星系統，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。穩定的四星系統存在多種形式，其中一種是四顆質量相等的恒星位于正方形的四個頂點上，沿著外接于正方形的圓形軌道做勻速圓周運行；另一種如圖所示，四顆恒星始終位于同一直線上，均圍繞中點O 做勻速圓周運動。已知萬有引力常最為G，請回答：

   （1）已知第一種形式中的每顆恒星質量均為m，正方形邊長為L，求其中一顆恒星受到的合力；

   （2）已知第二種形式中的兩外側恒星質量均為m、兩內側恒星質最均為M ，四顆恒星始終位于同一直線，且相鄰恒星之間距離相等，求內側恒星質量M與外側恒質m的比值 。

Answer 1

（1）（2）85︰63

解析:

（l）對其中任意一顆恒星．它受到的合力為

    F_合＝G                                       （ 6 分）

＝                                            （ 2 分）

   （2）設相鄰兩顆恒星間距為a ，四顆星總位于同一直線，即四顆恒星運動的角速度ω相同，由萬有引力定律和牛頓第二定律，對內側星M 有

G                        （4分）

對外側星m有

G                      （4分）

解得M︰n ＝ 85︰63 （2 分）