Question

【題目】如圖所示，以O為圓心、半徑為R的圓形區(qū)域內(nèi)存在垂直圓面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一粒子源位于圓周上的M點(diǎn)，可向磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)垂直磁場(chǎng)沿各個(gè)方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為－q的粒子，不計(jì)粒子重力，N為圓周上另一點(diǎn)，半徑OM和ON間的夾角為θ，且滿足 ＝0.5.

(1)若某一粒子以速率v1＝，沿與MO成60°角斜向上方射入磁場(chǎng)，求此粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；

(2)若某一粒子以速率v2，沿MO方向射入磁場(chǎng)，恰能從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，求此粒子的速率v2；

(3)若由M點(diǎn)射入磁場(chǎng)各個(gè)方向的所有粒子速率均為v2，求磁場(chǎng)中有粒子通過(guò)的區(qū)域面積.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，設(shè)軌跡半徑為r1，由牛頓第二定律可得解得：

粒子沿與與MO成方向攝入磁場(chǎng)，設(shè)粒子從區(qū)域邊界P射出，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。由圖中幾何關(guān)系可知粒子軌跡所對(duì)應(yīng)的圓心角為，

方法1：故粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間

方法2：粒子運(yùn)動(dòng)周期

粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)的時(shí)間得

（2）粒子以速率v2沿MO方向射入磁場(chǎng)，在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，恰好從N點(diǎn)離開(kāi)磁場(chǎng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖，

設(shè)粒子軌跡半徑為r2,由圖中幾何關(guān)系可得：

由牛頓第二定律可得

解得：粒子的速度

（3）粒子沿各個(gè)方向以v2進(jìn)入磁場(chǎng)做勻速圓周時(shí)的軌跡半徑都為，且不變。由圖可知，粒子在磁場(chǎng)中通過(guò)的面積S等于以O3為圓心的扇形MO3O的面積S1、以M為圓心的扇形MOQ的面積S2和以O點(diǎn)為圓心的圓弧MQ與直線MQ圍成的面積S3之和。

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則