Question

如圖所示，足夠長的兩根光滑導軌相距0.5m豎直平行放置，導軌電阻不計，下端連接阻值為1Ω的電阻R，導軌處在勻強磁場B中，磁場的方向垂直于導軌平面向里，磁感應強度為0.8T．兩根質量均為0.04kg、電阻均為0.5Ω的水平金屬棒ab、cd都與導軌接觸良好，金屬棒a6用一根細繩懸掛，細繩允許承受的最大拉力為0.64N．現讓cd棒從靜止開始落下，直至細繩剛好被拉斷，在此過程中電阻R上產生的熱量為0.2J，g取10m/s²，求：
（1）此過程中ab棒和cd棒分別產生的熱量Qab和Qcd；
（2）細繩剛被拉斷時，cd棒的速度；
（3）細繩剛被拉斷時，cd棒下落的高度．
（4）cd棒從靜止開始落下直至細繩剛好被拉斷所經過的時間．

Answer 1

分析：（1）根據串并聯電路的特點分析通過ab棒和cd棒的電流與通過R的電流關系，由焦耳定律求解ab棒和cd棒分別產生的熱量Q_ab和Q_cd；
（2）細繩剛好被拉斷時，拉力恰好等于最大拉力0.64N，由平衡條件和安培力公式求出ab棒中的電流，根據歐姆定律求出cd棒產生的感應電動勢，由E=BLv求出速度．
（3）cd棒下落過程中，重力勢能減小轉化為自身的動能和電路中的內能，根據能量守恒定律列式求出cd棒下落的高度．
（4）根據牛頓第二定律列式，利用積分法求出時間．

解答：解：（1）由題，電路中電阻分別為R_ab=R_cd=0.5Ω，R=1Ω，根據串并聯電路的特點分析得知，通過它們的電流關系為：I_cd=3I_R，I_ab=2I_R，由焦耳定律得：
   Q_ab=2Q_R=0.4J，Q_cd=

9

4

Qab=0.9J
（2）外電路總電阻為R′=R_cd+

RRab

R+Rab

=

5

6

Ω
細繩剛好被拉斷時，拉力恰好等于最大拉力0.64N，由平衡條件和安培力公式得
   T-mg=BI_abL
代入解得，I_ab=0.6A，則I_R=0.3A，I_cd=0.9A，
cd產生的感應電動勢為  E=I_cdR′=0.75V
由E=BLv得，v=

E

BL

=1.875m/s
（3）根據能量守恒定律得
mgh=

1

2

mv2+QR+Qab+Qcd
代入解得，h=3.93m
（4）根據牛頓第二定律得：
對cd棒：mg-

B2L2v

R′

=ma=m

△v

△t

得，mg△t-

B2L2v

R′

△t=m△v
兩邊求和得
    （mg△t）-（

B2L2v

R′

△t）=（m△v）
即有  mgt-

B2L2

R′

（v△t）=mv
又v△t=△x=h
聯立解得，t≈2.1s
答：
（1）此過程中ab棒和cd棒分別產生的熱量Qab和Qcd分別為0.4J和0.9J．
（2）細繩剛被拉斷時，cd棒的速度為1.875m/s．
（3）細繩剛被拉斷時，cd棒下落的高度為3.93m．
（4）cd棒從靜止開始落下直至細繩剛好被拉斷所經過的時間為2.1s．

點評：本題電磁感應與電路、力學知識的綜合，難點在于運用積分求棒下落的時間，這種方法對于非勻變速運動經常用到，往往從牛頓第二定律入手列式求解．