Question

【題目】如圖所示，質量分別為m和M的兩個星球A和B在引力作用下都繞O點做勻速圓周運動，星球A和B兩者中心之間距離為L。已知A、B的中心和O三點始終共線，A和B分別在O的兩側。引力常數為G。

（1）求兩星球做圓周運動的周期；
（2）在地月系統中，若忽略其他星球的影響，可以將月球和地球看成上述星球A和B ， 月球繞其軌道中心運行的周期記為T1。但在近似處理問題時，常常認為月球是繞地心做圓周運動的，這樣算得的運行周期記為T2。已知地球和月球的質量分別為5.98×1024kg和7.35×1022kg。求T2與T1兩者平方之比。（結果保留三位小數）

Answer 1

【答案】
（1）

兩星球圍繞同一點O做勻速圓周運動，其角速度大小相同，周期也相同，其所需向心力由兩者間的萬有引力提供，設A、B的軌道半徑分別為r2、r1，由牛頓第二定律得：

對于B有

對于A有

又r1＋r2＝L

聯立解得T＝2π

（2）

若認為地球和月球都圍繞中心連線某點O做勻速圓周運動，根據題意可知M地＝5.98×1024kg，m月＝7.35×1022kg，地月距離設為L′，

由（1）可知其兩星球的運行周期為

T1＝2π

若認為月球圍繞地心做勻速圓周運動，由萬有引力定律和牛頓第二定律得

解得T2＝2π

故

【解析】解:（1）兩星球圍繞同一點O做勻速圓周運動，其角速度大小相同，周期也相同，其所需向心力由兩者間的萬有引力提供，設A、B的軌道半徑分別為r2、r1 ， 由牛頓第二定律得：
對于B有
對于A有
又r1＋r2＝L
聯立解得T＝2π （2）若認為地球和月球都圍繞中心連線某點O做勻速圓周運動，根據題意可知M地＝5.98×1024kg，m月＝7.35×1022kg，地月距離設為L′，
由（1）可知其兩星球的運行周期為
T1＝2π
若認為月球圍繞地心做勻速圓周運動，由萬有引力定律和牛頓第二定律得

解得T2＝2π
故

【考點精析】利用衛星問題多星系統對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知所謂地球同步衛星，是相對于地面靜止的，這種衛星位于赤道上方某一高度的穩定軌道上，且繞地球運動的周期等于地球的自轉周期；同步衛星的軌道一定在赤道平面內，并且只有一條.所有同步衛星都在這條軌道上，以大小相同的線速度，角速度和周期運行著．