Question

（2011·新課標全國卷·T25）如圖，在區域I（0≤x≤d）和區域II（d≤x≤2d）內分別存在勻強磁場，磁感應強度大小分別為B和2B，方向相反，且都垂直于Oxy平面。一質量為m、帶電荷量q（q＞0）的粒子a于某時刻從y軸上的P點射入區域I，其速度方向沿x軸正向。已知a在離開區域I時，速度方向與x軸正方向的夾角為30°；此時，另一質量和電荷量均與a相同的粒子b也從p點沿x軸正向射入區域I，其速度大小是a的1/3。不計重力和兩粒子之間的相互作用力。求

（1）粒子a射入區域I時速度的大小；

（2）當a離開區域II時，a、b兩粒子的y坐標之差。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（－2）d

【解析】（1）設粒子a在I內做勻速圓周運動的圓心為C（在y軸上），半徑為Ra1，粒子速率為va,運動軌跡與兩磁場區域邊界的交點為P′，如圖，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有，

qvaB=m               ①

由幾何關系有∠PCP′=θ     ②

Ra1=                 ③

式中θ=30°，由上面三式可得

va=                   ④

（2）設粒子a在II內做圓周運動的圓心為Oa，半徑為Ra2，射出點為Pa（圖中未畫出軌跡），

∠P′OaPa=θ′，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律有，

q va（2B）=m               ⑤

由①⑤式得Ra2=              ⑥

C、P′、Oa三點共線，且由⑥式知Oa點必位于

x=d                       ⑦

的平面上，由對稱性知，Pa點與P′的縱坐標相同，即

yPa=Ra1cosθ＋h                  ⑧

式中，h是C點的縱坐標。

設b在I中運動的軌道半徑為Rb1，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有，

q（）B= （）2           ⑨

設a到達Pa點時，b位于Pb點，轉過的角度為α，如果b沒有飛出I，則

=                        ⑩

=                   ⑾

式中，t是a在區域II中運動的時間，而

Ta2=                       ⑿

Tb1=                      ⒀

由⑤⑨⑩⑾⑿⒀式得

α=30°                           ⒁

由①③⑨⒁式可見，b沒有飛出I。Pb點的y坐標為

yP2=Rb1（2+cosα）+h                   ⒂

由①③⑧⑨⒁⒂式及題給條件得，a、b兩粒子的y坐標差為

yP2－yPa=（－2）d