Question

如圖所示：質量 M = .040 kg的靶盒A位于光滑水平導軌上，開始時靜止在O點，在O點右側有范圍很廣的“相互作用區域”，如圖中劃虛線部分，當靶盒A進入相互作用區時便指向O點的恒力F= 20N作用，P處有一固定的發射器B，它可根據需要瞄準靶盒每次發射一顆水平速度 v ₀ = 50m / s ，質量m = .010kg的子彈，當子彈打入靶盒A后，便留在盒內，碰撞時間極短。今約定，每當靶盒A 停在或到達O點時，都有一顆子彈進入靶盒A內。
⑴ 當第一顆子彈進入靶盒A后，靶盒A離開O點最大距離為多少？
⑵ 當第三顆子彈進入靶盒A后，靶盒A從離開O點到又回到O點所經歷時間為多少？
⑶ 求發射器B至少發射幾顆子彈后，靶盒A在相互作用區內運動的距離不超過0.2m？

Answer 1

(1)設第一顆子彈進入靶盒A后，子彈與靶盒A共同速度為V₁。根據碰撞過程系統動量守恒，有：mV₀ = (m + M ) V₁² (1)設A離開O點的最大距離為S₁ ，根據動能定理有：-FS₁ = 0 - (m + M) V₁/2 (2 )由(1)、(2)式得S₁ = 1.25 m (3)評分標準：(1)、(2)、(3)式各2分(2) 根據題意，A在恒力F作用下返回O點時第二顆子彈打入，由于A的動量與第二顆子彈動量大小相同、方向相反，第二顆子彈打入后A將靜止在O點。設第三顆子彈打入A后，它們的共同速度為V₃由系統動量守恒：mV₀ = (M +3 m ) V₃ (4)設A從離開O點到又回到O點經歷時間為t ，且碰后A運動方向為正方向，由動量定理得：-Ft / 2 = 0 - (M +3 m ) V₃ (5)由 (4)、(5) 兩式得：t = 0.5 s (6)評分標準：必要文字敘述 1 分，(4)、(5)、(6)三式各2分(3) 設B 至少發射n顆子彈，且碰后A的速度為V_n 由系統動量守恒：mV₀ = (M + n m ) V_n (7)由動能定理：-FS_n = 0 - (M +nm ) V_n² /2 (8)根據題意：S_n < 0.2 m (9)由 (7 ) 、(8 )、( 9 ) 式得：n >27 所以B至少發射28顆子彈 (10)評分標準：( 9 ) 式 1分，其余各式各2分