Question

（20分）如圖甲，在x >0的空間中存在沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直于xOy平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m，帶電量為q（q>0）的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處，以初速度v₀沿x軸正方向射入，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡見圖甲，不計(jì)粒子的重力。

⑴求該粒子運(yùn)動(dòng)到y=h時(shí)的速度大小v；

⑵現(xiàn)只改變?nèi)肷淞Ｗ映跛俣鹊拇笮。�發(fā)現(xiàn)初速度大小不同的粒子雖然運(yùn)動(dòng)軌跡（y-x曲線）不同，但具有相同的空間周期性，如圖乙所示；同時(shí)，這些粒子在y軸方向上的運(yùn)動(dòng)（y-t關(guān)系）是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，且都有相同的周期。

Ⅰ．求粒子在一個(gè)周期T內(nèi)，沿x軸方向前進(jìn)的距離s；

Ⅱ．當(dāng)入射粒子的初速度大小為v₀時(shí)，其y-t圖像如圖丙所示，求該粒子在y軸方向上做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅A_y，并寫出y-t的函數(shù)表達(dá)式。

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）Ⅰ．Ⅱ．

【解析】（1）由于洛侖茲力不做功，只有電場(chǎng)力做功，由動(dòng)能定理有

                   ①

由①式解得　v =          ②

（2）Ⅰ．由圖乙可知，所有粒子在一個(gè)周期T內(nèi)沿x軸方向前進(jìn)的距離相同，即都等于恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的粒子在T時(shí)間內(nèi)前進(jìn)的距離。設(shè)粒子恰好沿x軸方向勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小為v₁，則

qv₁B = qE                     ③

又　s = v₁T                   ④

式中T =

解得　s =         ⑤

Ⅱ．設(shè)粒子在y方向上的最大位移為y_m（圖丙曲線的最高處），對(duì)應(yīng)的粒子運(yùn)動(dòng)速度大小為v₂（沿x軸），因?yàn)榱Ｗ釉?i>y方向上的運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，因而在y = 0和y = y_m處粒子所受的合外力大小相等，方向相反，則

            ⑥

由動(dòng)能定理有    ⑦

又　A_y =                             ⑧

由⑥⑦⑧式解得　A_y =

可寫出圖丙曲線滿足的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)y-t函數(shù)表達(dá)式為y =