Question

如甲圖所示，水平光滑地面上用兩顆釘子（質量忽略不計）固定停放著一輛質量為M=3kg的小車，小車的四分之一圓弧軌道是光滑的，半徑為R=0.5m，在最低點B與水平軌道BC相切，視為質點的質量為m=1kg的物塊從A點正上方距A點高為h=0.3m處無初速下落，恰好落入小車圓弧軌道滑動，然后沿水平軌道滑行恰好停在軌道末端C．現去掉釘子（水平面依然光滑未被破壞）不固定小車，而讓其左側靠在豎直墻壁上，該物塊仍從原高度處無初速下落，如乙圖所示．不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時的能量損失，已知物塊與水平軌道BC間的動摩擦因數為μ=0.2

求：（1）水平軌道BC長度；
（2）小車固定時物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力；
（3）小車不固定時物塊再次停在小車上時距小車B點的距離；
（4）兩種情況下由于摩擦系統產生的熱量之比．

Answer 1

分析：（1）物塊下滑過程，根據能量守恒可得；
（2）根據機械能守恒可得物塊到B點的速度，利用牛頓第二定律可得軌道對物塊的支持力，根據牛頓第三定律可得；
（3）根據系統動量守恒可得最終二者一起運動的速度，根據動能定理可得；
（4）根據摩擦力做功W=μmgs可求解．

解答：解：（1）小車固定時，物塊恰好停在C點，整個過程只有重力和摩擦力做功，根據能量守恒：mg（h+R）=μmgs_BC
代入數據解得：s_BC=4m
（2）小車固定時，根據機械能守恒，mg（h+R）=

1

2

mv2
故可得，物塊到在B點的速度v=

2g(h+R)

=4m/s
由：N-mg=

mv2

R

可得：N=42N，
根據牛頓第三定律可得，物塊對軌道的壓力N′=N=42N
（3）小車不固定時，當物塊運動到B點時，由于摩擦力作用，小車向右運動，最終二者速度相等設為V，由系統動量守恒，
mv=（M+m）V
根據動能定理，

1

2

mv2-

1

2

(M+m)V2=μmgs
聯立解得：s=3m
即物塊在此停在距B點的距離3m．
（4）由于摩擦系統產生的熱量Q=W=μmgs
摩擦力不變，故Q₁：Q₂=s_BC：S=4：3
答：（1）水平軌道BC長度為4m；（2）小車固定時物塊到達圓弧軌道最低點B時對軌道的壓力為42N； 
（3）小車不固定時物塊再次停在小車上時距小車B點的距離為3m；（4）兩種情況下由于摩擦系統產生的熱量之比為4：3．

點評：本題關鍵考查能量守恒和動能定理及牛頓第二定律的綜合應用，難度適中．