Question

(20分)目前，大功率半導體激光器的主要結構形式是由許多發光區等距離地排列在一條直線上的長條狀，通常稱為激光二極管條．但這樣的半導體激光器發出的是很多束發散光束，光能分布很不集中，不利于傳輸和應用．為了解決這個問題，需要根據具體應用的要求，對光束進行必需的變換（或稱整形）．如果能把一個半導體激光二極管條發出的光變換成一束很細的平行光束，對半導體激光的傳輸和應用將是非常有意義的．為此，有人提出了先把多束發散光會聚到一點，再變換為平行光的方案，其基本原理可通過如下所述的簡化了的情況來說明．

如圖，S₁、S₂、S₃ 是等距離（h）地排列在一直線上的三個點光源，各自向垂直于它們的連線的同一方向發出半頂角為α =arctan的圓錐形光束．請使用三個完全相同的、焦距為f = 1.50h、半徑為r =0.75 h的圓形薄凸透鏡，經加工、組裝成一個三者在同一平面內的組合透鏡，使三束光都能全部投射到這個組合透鏡上，且經透鏡折射后的光線能全部會聚于z軸（以S₂為起點，垂直于三個點光源連線，與光束中心線方向相同的射線）上距離S₂為 L = 12.0 h處的P點．（加工時可對透鏡進行外形的改變，但不能改變透鏡焦距．）

1．求出組合透鏡中每個透鏡光心的位置．

2．說明對三個透鏡應如何加工和組裝，并求出有關數據．

Answer 1

1．考慮到使3個點光源的3束光分別通過3個透鏡都成實像于P點的要求，組合透鏡所在的平面應垂直于z軸，三個光心O₁、O₂、O₃的連線平行于3個光源的連線，O₂位于z軸上，如圖1所示．

圖中表示組合透鏡的平面，、、為三個光束中心光線與該平面的交點．  ＝ u就是物距．根據透鏡成像公式

                            (1)

可解得

                                                                      

因為要保證經透鏡折射后的光線都能全部會聚于P點，來自各光源的光線在投射到透鏡之前不能交叉，必須有2utanα ≤h即u≤2h．在上式中取“－”號，代入f 和L的值，算得

         ≈1.757h                              (2)

此解滿足上面的條件．          

分別作3個點光源與P點的連線．為使3個點光源都能同時成像于P點，3個透鏡的光心O₁、O₂、O₃應分別位于這3條連線上（如圖1）．由幾何關系知，有

                                                        (3) 

即光心O₁的位置應在之下與的距離為

                       (4)

同理，O₃的位置應在之上與的距離為0.146h處．由(3)式可知組合透鏡中相鄰薄透鏡中心之間距離必須等于0.854h，才能使S₁、S₂、S₃都能成像于P點．

2．現在討論如何把三個透鏡L₁、L₂、L₃加工組裝成組合透鏡．

因為三個透鏡的半徑r = 0.75h，將它們的光心分別放置到O₁、O₂、O₃處時，由于＝＝0.854h<2r，透鏡必然發生相互重疊，必須對透鏡進行加工，各切去一部分，然后再將它們粘起來，才能滿足(3)式的要求．由于對稱關系，我們只需討論上半部分的情況．

圖2畫出了L₁、L₂放在平面內時相互交疊的情況（紙面為平面）．圖中C₁、C₂表示L₁、L₂的邊緣，、為光束中心光線與透鏡的交點，W₁、W₂分別為C₁、C₂與O₁O₂的交點．

為圓心的圓1和以（與O₂重合）為圓心的圓2分別是光源S₁和S₂投射到L₁和L₂時產生的光斑的邊緣，其半徑均為

                          (5)

根據題意，圓1和圓2內的光線必須能全部進入透鏡．首先，圓1的K點（見圖2）是否落在L₁上？由幾何關系可知

 (6)

故從S₁發出的光束能全部進入L₁．為了保證全部光束能進入透鏡組合，對L₁和L₂進行加工時必須保留圓1和圓2內的透鏡部分．

下面舉出一種對透鏡進行加工、組裝的方法．在O₁和O₂之間作垂直于O₁O₂且分別與圓1和圓2相切的切線和．若沿位于和之間且與它們平行的任意直線對透鏡L₁和L₂進行切割，去掉兩透鏡的弓形部分，然后把它們沿此線粘合就得到符合所需組合透鏡的上半部．同理，對L₂的下半部和L₃進行切割，然后將L₂的下半部和L₃粘合起來，就得到符合需要的整個組合透鏡．這個組合透鏡可以將S₁、S₂、S₃發出的全部光線都會聚到P點．

現在計算和的位置以及對各個透鏡切去部分的大小應符合的條件．設透鏡L₁被切去部分沿O₁O₂方向的長度為x₁，透鏡L₂被切去部分沿O₁O₂方向的長度為x₂，如圖2所示，則對任意一條切割線， x₁、x₂之和為

                  （7）

由于必須在和之間，從圖2可看出，沿切割時，x₁達最大值(x_1M)，x₂達最小值(x_2m)， 

       

代入r，ρ 和的值，得

               (8)

代入(7)式，得

               (9)

由圖2可看出，沿切割時，x₂達最大值(x_2M)，x₁達最小值(x_1m)， 

       

代入r和ρ 的值，得

               (10)

               （11）

由對稱性，對L₃的加工與對L₁相同，對L₂下半部的加工與對上半部的加工相同．

評分標準：

本題20分．第1問10分，其中（2）式5分，（3）式5分，

第2問10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．

如果學生解答中沒有(7)—(11)式，但說了“將圖2中三個圓錐光束照射到透鏡部分全部保留，透鏡其它部分可根據需要磨去（或切割掉）”給3分，再說明將加工后的透鏡組裝成透鏡組合時必須保證O₁O₂=O₁O₂=0.854h，再給1分，即給(7)—(11)式的全分（4分）．