Question

（20分）如圖所示，一容器左側(cè)裝有活門，右側(cè)裝有活塞B，一厚度可以忽略的隔板M將容器隔成a、b兩室，M上裝有活門。容器、隔板、活塞及活門都是絕熱的。隔板和活塞可用銷釘固定，拔掉銷釘即可在容器內(nèi)左右平移，移動(dòng)時(shí)不受摩擦作用且不漏氣。整個(gè)容器置于壓強(qiáng)為P₀、溫度為T₀的大氣中。初始時(shí)將活塞B用銷釘固定在圖示的位置，隔板M固定在容器PQ處，使a、b兩室體積都等于V₀；、關(guān)閉。此時(shí)，b室真空，a室裝有一定量的空氣（容器內(nèi)外氣體種類相同，且均可視為理想氣體），其壓強(qiáng)為4P₀/5，溫度為T₀。已知1mol空氣溫度升高1K時(shí)內(nèi)能的增量為C_V，普適氣體常量為R。

　　1.現(xiàn)在打開，待容器內(nèi)外壓強(qiáng)相等時(shí)迅速關(guān)閉（假定此過程中處在容器內(nèi)的氣體與處在容器外的氣體之間無熱量交換），求達(dá)到平衡時(shí)，a室中氣體的溫度。

　　2.接著打開，待a、b兩室中氣體達(dá)到平衡后，關(guān)閉。拔掉所有銷釘，緩慢推動(dòng)活塞B直至到過容器的PQ位置。求在推動(dòng)活塞過程中，隔板對(duì)a室氣體所作的功。已知在推動(dòng)活塞過程中，氣體的壓強(qiáng)P與體積V之間的關(guān)系為＝恒量。

Answer 1

解析：

1．設(shè)a室中原有氣體為，打開K₁后，有一部分空氣進(jìn)入a室，直到K₁關(guān)閉時(shí)，a室中氣體增加到，設(shè)a室中增加的氣體在進(jìn)入容器前的體積為，氣體進(jìn)入a室的過程中，大氣對(duì)這部分氣體所作的功為

                                       （1）

用T 表示K₁關(guān)閉后a室中氣體達(dá)到平衡時(shí)的溫度，則a室中氣體內(nèi)能增加量為

                                   （2）

由熱力學(xué)第一定律可知

                                                     （3）

由理想氣體狀態(tài)方程，有

                                            （4）

                                    （5）

                                               （6）

由以上各式解出

                                         （7）

2．K₂打開后，a室中的氣體向b室自由膨脹，因系統(tǒng)絕熱又無外界做功，氣體內(nèi)能不變，所以溫度不變（仍為），而體積增大為原來的2倍．由狀態(tài)方程知，氣體壓強(qiáng)變?yōu)?/p>

                                                    （8）

關(guān)閉K₂，兩室中的氣體狀態(tài)相同，即

，，，且    （9）

拔掉銷釘后，緩慢推動(dòng)活塞B，壓縮氣體的過程為絕熱過程，達(dá)到最終狀態(tài)時(shí)，設(shè)兩室氣體的壓強(qiáng)、體積和溫度分別為、、、、、，則有

                                    （10）

                                   （11）

由于隔板與容器內(nèi)壁無摩擦，故有

                                                     （12）

由理想氣體狀態(tài)方程，則有

                                            （13）

                                           （14）

因

                                               （15）

由（8）～（15）式可得

                                            （16）

                                          （17）

在推動(dòng)活塞壓縮氣體這一絕熱過程中，隔板對(duì)a室氣體作的功W等于a室中氣體內(nèi)能的增加，即

                                   （18）

由（6）、（17）和（18）式得

                               （19）