Question

如圖所示，均勻光滑直桿AB長為L，可繞光滑固定轉軸O轉動，O在距B點

L

3

處．在水平桿的另一端A下擺經過的軌跡上安裝光電門，用來測量A端的瞬時速度v_A，光電門測量位置和距轉軸O的高度差h可以調節，有一質量為m的小球套在光滑桿上，重力加速度g取10m/s²．
（1）若桿的質量忽略不計，小球固定在桿OA的中點處，由靜止釋放桿，請寫出光電門測量到的速度v_A與高度差h的關系式；
（2）實際情況下桿的質量M不能忽略，拿走小球后重復實驗，得到了如圖所示的v_A²與h關系圖線．請寫出桿繞O點轉動時的動能E_k與v_A的關系式；
（3）將光電門安裝在OA中點正下方

L

3

處，將桿由水平位置靜止釋放，套在桿上某處的小球由靜止開始沿桿下滑，恰好經過該光電門，測得小球對地速度大小為v．已知桿的質量M是小球質量m的

2

倍，桿繞O點轉動時的動能E_k與v_A滿足（2）問關系．求此時小球重力做功的瞬時功率P．

Answer 1

（1）根據圖中幾何關系可知，A端下降高度為h時，小球下降高度為

h

2

，設此時小球的速度為v₁．有機械能守恒定律：

1

2

mv12=mg

h

2

由小球與A端共軸，有相同的角速度，所以：v_A=2v₁
解得：vA=2

gh

（2）考慮桿的質量，拿走小球后，桿的重心距轉軸O的距離為

L

6

．因此桿的重心下降高度H與A端下降高度h的關系為：H=

h

4

對桿和球組成的整體，由動能定理得：E_k=

2

3

Mg

h

2

-

1

3

Mg

h

4

由圖象得：h=

vA2

45

得：E_k=

MvA2

18

（3）小球下降高度h′=

L

3

，此時桿與水平方向夾角為45°．由幾何關系知，桿的重心下降高度H′=

L

6

cos450=

2 L

12

設桿此時動能為E_k，小球垂直桿方向的分速度為v₁，小球沿桿方向分速度為v₂
桿和小球組成的系統機械能守恒：mg

L

3

+Mg

2 L

12

=

1

2

mv2+Ek
解得：Ek=

1

2

mgL-

1

2

mv2
又：

v ′A

v1

=

2 3 L

2 3 L

=

2

，
Ek=

M v 2A

18

=

2 m v 2A

18

解得：v₁=

9 2 (10L-v2) 4

又v2=

v2- v 21

=

(4+9 2 )v2-90 2 L 4

又：p=mgv1cos450+mgv2cos450
解得：p=10m(

9 2 (10L-v2) 8 + (4+9 2 )v2-90 2 L 8

)
答：（1）光電門測量到的速度v_A與高度差h的關系式為vA=2

gh

；
（2）桿繞O點轉動時的動能E_k與v_A的關系式為Ek=

M v 2A

18

；
（3）此時小球重力做功的瞬時功率P為10m(

9 2 (10L-v2) 8 + (4+9 2 )v2-90 2 L 8

)．