Question

如圖所示，絕緣板MN上有一小孔D，DM長度為L．MN上方有場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場，電場方向豎直向下，絕緣板MN上下方有磁感應(yīng)強(qiáng)度相同的勻強(qiáng)磁場，方向垂直紙面向外．MN下方是磁場的邊界線MP與板MN成30°角的有界磁場．a(chǎn)b是一根長度為L絕緣細(xì)桿，沿電場線放置在小孔的正上方的場中，b端恰在D處．將一套在桿上的帶正電的小球從a端由靜止釋放后，小球先做加速運(yùn)動(dòng)，后做勻速運(yùn)動(dòng)到達(dá)b端，再從缺口處進(jìn)入，小球進(jìn)入MN下方磁場后圓周運(yùn)動(dòng)軌跡恰與MP相切，已知小球與絕緣桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.3，小球重力忽略不計(jì)．小球與板MN接觸后不再反彈．
求此帶電小球從a端由靜止釋放后運(yùn)動(dòng)到達(dá)b端過程中電場力所做的功W_電與克服摩擦力所做的功W_f的比值．

Answer 1

分析：根據(jù)小球在桿上勻速運(yùn)動(dòng)受力平衡，可求得電場表達(dá)式，作出小球在下方磁場中的軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系可求得小球的速度
利用電場力做功和動(dòng)能定理聯(lián)立可求得電場力做功和摩擦力做功的表達(dá)式，從而可求得二者之比．

解答：解：小球在桿上勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受力分析如圖1所示，設(shè)小球在桿上勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，電量是q，根據(jù)共點(diǎn)力平衡有：
F_電=qE=f _摩
F_洛=qvB=N _壓
而 f _摩=μN(yùn)_壓
由以上幾式解得：qE=μqvB，得：E=μvB
小球進(jìn)入下方磁場后圓周運(yùn)動(dòng)軌跡恰與MP相切，軌跡圓的圓心為O，如圖2所示．

由幾何關(guān)系有：2r=L-r
解得軌跡圓半徑r=

1

3

L
又由：qvB=

mv2

r

 得：v=

qBL

3m

小球從a到b過程中，W電-Wf=

1

2

mv2
W_電=qEL=qμvBL=

μq2B2L2

3m

=

q2B2L2

10m

W_f=W_電-

1

2

mv2=

q2B2L2

22.5m

故可得：W_電：W_f=9：4
答：電場力所做的功W_電與克服摩擦力所做的功W_f的比值為9：4．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確小球勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的受力狀態(tài)及在磁場中運(yùn)動(dòng)的軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系，根據(jù)功的公式和動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用，綜合性強(qiáng)．