Question

（18分）如圖所示，固定在地面上的光滑圓弧面底端與車C的上表面平滑相接，在圓弧面上有一滑塊A，其質量m_A=2kg，在距車的水平面高h=1.25m處由靜止下滑，車C的質量為m_C=6kg．在車C的左端有一質量m_B=2kg的滑塊B，滑塊B與A均可視作質點，滑塊A與B碰撞后立即粘合在一起共同運動，最終沒有從車C上滑落．已知滑塊A、B與車C的動摩擦因數均為μ=0.5，車C與水平面間的摩擦忽略不計，取g=10m/s²．求：

（1）滑塊A滑到圓弧面底端時的速度大小；
（2）滑塊A與B碰撞后瞬間的共同速度大小；
（3）車C的最短長度．

Answer 1

（1）5(m/s)（2）2.5(m/s)（3）L="0.375(m)"

（1）設滑塊A滑到圓弧末端時的速度大小為v₁，由機械能守恒定律有：
m_Agh=m_Av₁²  ①（3分）
代入數據，由①式解得：v₁="5(m/s)" （2分）
（2）設A、B碰撞后瞬間的共同速度為v₂，滑塊A與B組成的系統動量守恒，由動量守恒定律可得：
m_Av₁=(m_A+m_B)v₂  ②（3分）
代入數據，由②式解得：v₂="2.5(m/s)" （2分）
（3）設車C的最短長度為L，滑塊A與B最終沒有從車C上滑出，三者的最終速度相同，設其共同速度為v₃，根據動量守恒和能量守恒定律可得：
(m_A+m_B)v₂ =(m_A+m_B+m_C)v₃ ③（3分）
μ(m_A+m_B)gL=(m_A+m_B)v₂²-(m_A+m_B+m_C)v₃²  ④（3分）
聯立③④式可解得：L="0.375(m)" （2分）
本題考查機械能守恒和動量守恒定律的應用，A由最高點滑到最低點過程中只有重力做功，機械能守恒，A、B碰撞瞬間，小車不參與碰撞，以A、B為系統動量守恒，求得碰后速度，AB結合為一個整體，當與C相對靜止時系統速度相同，且減小的動能完全用于克服摩擦力做功，由能量守恒定律可求解