Question

【題目】如圖所示，半徑R=0.8m的光滑絕緣導軌固定于豎直平面內，加上某一水平方向的勻強電場時，帶正電的小球沿軌道內側做圓周運動，它的電量q=1.00×10﹣7C．圓心O與A點的連線與豎直成一角度θ，在A點時小球對軌道的壓力N=1.2N，此時小球的動能最大．若小球的最大動能比最小動能多0.32J，且小球能夠到達軌道上的任意一點（不計空氣阻力，g取10m/s2）．則：

（1）小球的最小動能是多少？

（2）小球受到重力和電場力的合力是多少？

（3）現小球在動能最小的位置突然撤去軌道，并保持其他量都不變，若小球在0.4s后的動能與它在A點時的動能相等，求小球的質量和電場強度．

Answer 1

【答案】（1）小球的最小動能是0.08J；

（2）小球受到重力和電場力的合力是20N；

（3）小球的質量為0.01kg．電場強度為，方向水平向左

【解析】（1）（2）帶電小球沿軌道內側做圓周運動，受到重力和電場力作用，其合力是恒力，當合力沿OA連線向下時，小球通過A點時動能最大，通過關于O點對稱的B點時動能最小．根據動能定理研究小球從B運動到A點的過程，求出重力與電場力的合力大小．根據牛頓第二定律和動能的計算式求出A點的動能，再求出小球的最小動能；（3）在B點撤去軌道后，小球將做類平拋運動，由題，小球經0.02s時，其動能與在A點時的動能相等，說明小球經0.04s時偏轉量等于2R，由位移公式和牛頓第二定律結合求出質量

（1）、（2）小球在電場和重力場的復合場中運動，因為小球在A點具有最大動能，所以復合場的方向由O指向A，在AO延長線與圓的交點B處小球具有最小動能．設小球在復合場中所受的合力為F

則有： ，即：

帶電小球由A運動到B的過程中，重力和電場力的合力做功，根據動能定理有：

由此可得：

即小球的最小動能為0.08J，重力和電場力的合力為0.2N．

（3）帶電小球在B處時撤去軌道后，小球做類平拋運動，即在BA方向上做初速度為零的勻加速運動，在垂直于BA方向上做勻速運動．設小球的質量為m，則：在BA方向上做初速度為零的勻加速運動

則有：，得：

由幾何關系有： ，故

在垂直于BA方向上做勻速運動，有：

解得：，方向水平向左