Question

如圖所示，ACB為光滑圓弧軌道其半徑為R，O為其圓心，OD為水平臺面．AF為光滑水平面且與圓弧ACB光滑連接．已知：在DFAO區域存在水平向左的勻強電場，場強大小為E₁，AOB右側空間存在水平向右的勻強電場，場強大小為E₂，且E₁=E₂．在AE水平面上有一個質量為m，電荷量為q的帶負電小球（可看作質點）．若其重力mg=qE₁ 問
（1）至少從距離A點多遠處無初速度釋放該小球才能使其通過B點．（2）通過B點后落在水平面OD上距O點的距離在什么范圍內．

Answer 1

分析：（1）要使小球到達B點，必須使小球通過AB上速度最小的點．由于mg=qE₂，小球在圓弧軌道的等效最高點在OB右偏45°的H點上．在H點，由重力和電場力的合力恰好提供小球的向心力，由牛頓第二定律求得H點的速度，從小球釋放到H點，再應用動能定理列式求解．
（2）從釋放到B點的過程，運用動能定理列式求出小球到達B點的最小速度．小球離開B點做平拋運動，由平拋運動的規律求范圍．

解答：解：（1）設至少從距離A點x₁處無初速度釋放該小球才能使其通過B點．
帶電小球要通過B點，根據圓周運動規律，小球在圓弧軌道的等效最高點在OB右偏45°的H點上．從小球釋放到H點，由動能定理得：
      qE₁x₁-qE₂

2

2

R-mg（1+

2

2

）R=

1

2

mv2
 在H點，有

2

mg=m

v2

R

又題意，mg=qE₁=qE₂．
聯立以上三式得：x₁=（1+

3 2

2

）R
（1）小球通過B點的速度為v_B．由釋放到B點，由動能定理得：
  qE₁x₁-mg2R=

1

2

m

v

2 B

  又mg=qE₁．
解得，v_B=

2(3 2 -2)gR

小球離開B點做平拋運動，由平拋運動的規律得：
   R=

1

2

gt2
   x₂=v_Bt
解得，x₂=

2(3 2 -2)

R
即通過B點后落在水平面OD上距O點的距離為x₂≥

2(3 2 -2)

R．
答：
（1）至少從距離A點（1+

3 2

2

）R處無初速度釋放該小球才能使其通過B點．
（2）通過B點后落在水平面OD上距O點的距離為x₂≥

2(3 2 -2)

R．

點評：本題是動能定理與圓周運動臨界條件、平拋運動的綜合應用，關鍵是找到物理上的“最高點”H．