Question

我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年的時間完成，這極大地提高了同學們對月球的關注，以下是某位同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請你回答：
（1）若已知地球的半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運行的周期為T，且把月球繞地球的運行近似看作是勻速圓周運動．試求出月球繞地球運行的軌道半徑．
（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v₀水平拋出一個小球，小球落回月球表面時與拋出點間的水平距離為s，已知月球的半徑為R_月，引力常量為G，試求月球的質量M_月．

Answer 1

分析：（1）根據月球受到的引力等于向心力，在地球表面重力等于萬有引力列式求解；
（2）先根據平拋運動的知識求出月球表面的重力加速度，再根據月球表面重力等于萬有引力列式求解．

解答：解：（1）設地球的質量為M，月球的軌道半徑為r，則：
G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r…①
在地球表面有：
m′g=G

Mm′

R2

…②
由①②式得：
r=

3	gR2T2 4π2

…③
故月球繞地球運行的軌道半徑為

3	gR2T2 4π2

．
（2）設月球表面的重力加速度為g_月，由平拋運動規律得：
h=

1

2

g月t2…④
s=v₀t…⑤
由④⑤式得：
g月=

2v02h

s2

…⑥
在月球表面有：
m′g月=G

M月m′

R2   月

…⑦
由⑥⑦式得：
M月=

2v02hR月2

Gs2

…⑧
故月球的質量為

2v02hR月2

Gs2

．

點評：關鍵是抓住星球表面處重力等于萬有引力以及衛星所受的萬有引力提供向心力．