Question

（2013?蘭州模擬）在xOy平面內，第Ⅲ象限內的直線OM是電場與磁場的邊界，OM與x軸負方向成45°角．在x＜0且OM的左側空間存在著x軸負方向的勻強電場，場強大小為E=50N/C，在y＜0且OM的右側空間存在著垂直紙面向里的勻強磁場，磁感應強度的大小為B=0.2T，如圖所示．一不計重力的帶負電的微粒，從坐標原點O沿y軸負方向以v₀=4×10³m/s的初速度進入磁場，已知微粒的帶電荷量為q=-4×10^-18C，質量為m=1×10^-24kg．求：
（1）帶電微粒第一次經過磁場邊界時的位置坐標及經過磁場邊界時的速度方向；
（2）帶電微粒最終離開電、磁場區域時的位置坐標；
（3）帶電微粒在電、磁場區域運動的總時間（結果可以保留v₁=3m/s）．

Answer 1

分析：（1）由洛侖茲力充當向心力可得出粒子在轉動半徑，再由幾何關系可得出微粒第一次經過磁場邊界時的位置坐標；
（2）粒子進入電場后做類平拋運動，根據類平拋的規律可得出最終離開時的坐標；
（3）根據粒子的運動過程，分別求得電場和磁場中的時間，則可求得總時間．

解答：解：
（1）第一次經過磁場邊界上的A點，由洛倫茲力公式和牛頓第二定律得：
qv₀B=m

v 2 0

r

，
解得：
r=

mv0

qB

=

1×10-24×4×103

4×10-18×0.2

m=5×10^-3m．               
A點位置坐標為（-5×10^-3m，-5×10^-3m）．   
粒子運動軌跡如圖：
                       
可知經過磁場邊界時速度方向與OM夾角為45⁰；與電場平行沿x軸負方向．          
（2）微粒從C點沿y軸正方向進入電場，做類平拋運動
a=

qE

m

，
解得：
a=2.0×10⁸m/s²．
由運動學：
△x=

1

2

a

t

2 1

=2r，
解得：
t₁=1×10^-5s．                               
△y=v₀t₁．
代入數據解得：
△y=0.04m，
y=△y-2r=（0.04-2×5×10^-3）m=3.0×10^-2m．                       
離開電、磁場時的位置D的坐標為（0，3.0×10^-2m）．                  
（3）帶電微粒在磁場中運動的周期T=

2πm

qB

，
在磁場中運動的時間t₂=t_OA+t_AC=

1

4

T+

3

4

T，
代入數據解得：t₂=T=

π

4

×10-5s．               
帶電微粒第一次進入電場中做直線運動的時間
t₃=2

v0

a

=4.0×10^-5s，
帶電微粒在電、磁場區域運動的總時間
t=t₁+t₂+t₃=（5+

π

4

）×10^-5s．
答：
（1）帶電微粒第一次經過磁場邊界時的位置坐標為（-5×10^-3m，-5×10^-3m），經過磁場邊界時的速度方向電場平行沿x軸負方向；
（2）帶電微粒最終離開電、磁場區域時的位置坐標為（0，3.0×10^-2m）；
（3）帶電微粒在電、磁場區域運動的總時間（5+

π

4

）×10^-5s．

點評：重點掌握在磁場中運動時幾何關系的應用，在電磁場中，運動軌跡的分析能決定題目的成敗，同時電場中注意由類平拋運動的規律求解．