Question

【題目】如圖所示，在直角坐標系xOy平面內，虛線MN平行于y軸，N點坐標為(－L,0)，MN與y軸之間有沿y軸正方向的勻強電場，在第四象限的某區域有方向垂直于坐標平面的矩形有界勻強磁場(圖中未畫出)．現有一質量為m、電荷量為－e的電子，從虛線MN上的P點，以平行于x軸正方向的初速度v0射入電場，并從y軸上點A射出電場，射出時速度方向與y軸負方向成30°角，進入第四象限后，經過矩形磁場區域，電子過點Q，不計電子重力，求：

(1)勻強電場的電場強度E的大小；

(2)勻強磁場的磁感應強度B的大小和電子在磁場中運動的時間t；

(3)矩形有界勻強磁場區域的最小面積Smin.

Answer 1

【答案】(1) (2) ， (3)

【解析】試題分析：根據電場力提供合力使其做類平拋運動，由牛頓第二定律，結合運動學公式從而即可求解；由幾何關系可確定OD的距離，再由運動的分解可列出速度間的關系式，最后由運動軌跡的半徑與周期公式，借助于已知長度，來確定磁場強弱與運動的時間；以切點F、Q為直徑的圓形有界勻強磁場區域的半徑最小，從而根據幾何的關系，并由面積公式即可求解。

(1)設電子在電場中運動的加速度為a，時間為t，離開電場時，沿y軸方向的速度大小為vy，則水平方向： L＝v0t

加速度為：

豎直速度為：vy＝at

聯立解得：

(2) 設軌跡與x軸的交點為D，OD距離為xD，則

根據幾何關系可得：

所以，DQ平行于y軸，電子在磁場中做勻速圓周運動的軌道的圓心在DQ上，電子運動軌跡如圖所示：

設電子離開電場時速度為v，在磁場中做勻速圓周運動的軌道半徑為r，

根據洛倫茲力提供向心力：

又有：

由幾何關系有：

解得：

聯立以上各式解得：

電子轉過的圓心角為120°，則得：

因為：

解得：

(3)以切點F、Q的連線長為矩形的一條邊，與電子的運動軌跡相切的另一邊作為其FQ的對邊，有界勻強磁場區域面積為最小．

可得：